9414912660

86

wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015

Niech więc odtąd Aj e &, gdzie j e N, będą parami rozłączne. Ustalmy m e N. Niech Ze 2^X będzie dowolnym zbiorem. Korzystając z (4.7) i monotoniczności p*, piszemy

M*(Z)    = fUn\jA,j+s(z\\jA,j

\    j₌₁    /    \    j₌₁    /

^u= n Aj) +^fz\Q^Aj)>f^ t*’(^z nĄ) + /i'(z\U 4r) ■

j=i    ' j'=i ^ i=i    ^ j=i '

Zatem, wszystkie sumy częściowe szeregu J2JLi p*{ZC\Aj) o wyrazach dodatnich są ograniczone. Szereg ten jest więc zbieżny, a jego suma spełnia nierówność

S(z)>jTiS(znAj)+ii‘(z\{jAA

j=1    '    3=1 '

Wobec przeliczalnej podaddytywności miary zewnętrznej p*, otrzymujemy stąd

L = f(Z) > f>*(z n Aj) + it(z\ 0 Aj) >jf(zn 0 A,) +f(z\ 0 A,) = P.

3=1    ^V    3=1 '    ^V 3=1 ^J V 3=1 ^J

Nierówność L < P jest oczywista; dlatego Aj spełnia warunek Caratheodory’ego. Krok 7: przeliczalna addytywność p* na &. Załóżmy, że zbiory Aj e &, gdzie j = 1,2,..., są parami rozłączne. Wobec (4.7) dla Z = X oraz monotoniczności p*,

? (0 4>) ^ K* (0 ^Ai) ' = ’ E    dla m = 1,2,...

S'=l '    3=1 '    3=1

Przechodząc do granicy m —> oo po prawej stronie tej nierówności, otrzymujemy

(0 ^Ai) ^ XX (A,).

3=1 ^y 3=1

Dzięki przeliczalnej podaddytywności miary zewnętrznej p*, ostatnia nierówność jest w istocie równością. Dowód całego Twierdzenia 4.12 jest zakończony. □

Stwierdzenie 4.13. Jeśli p* jest miarą zewnętrzną na X i p*{A) = 0 dla pewnego A c X, to A spełnia warunek Caratheodory’ego.

Dowód. Dla każdego Z c X mamy, przy tych założeniach, 0 = p*(A) > p*(Z n A) = 0 i dlatego

p*(Z) < p*{ZC\A) + p*{Z \ A) = p*{Z \A)< p*(Z).

To spostrzeżenie kończy dowód. □

Samo twierdzenie Caratheodory’ego nie orzeka wprawdzie, jak duża jest rodzina zbiorów & spełniających warunek (4.3). Jednak przy pewnych łagodnych założeniach dodatkowych, nałożonych na p*, <r-ciało & jest dostatecznie obszerne.