9414912649

94

wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015

Dowód Lematu 4.32. Dla m — 1,2,... połóżmy H_m = H D 5(0,m). Zbiór H_m jest p-mierzalny (należy do dziedziny /z), gdyż H i kula 5(0, m) są zbiorami borelowskimi. Ponieważ dimH < n, więc istnieje wektor v e S^n-1 prostopadły do H. Niech

H_mj = H_m + - v, m G N, j = 1,2,...

Przy ustalonym m zbiory H_mj są parami rozłączne. Są też zawarte w kuli 5(0, m + 1); to wynika z nierówności trójkąta (do wektorów z H_m dodajemy wektor v /j, którego norma nie przekracza 1). Miara p jest skończona na przedziałach i niezmiennicza ze względu na przesunięcia; dlatego

00 > p(B(0, m + 1)) > p( |J Hmj') = p(H_m, 1) + p(H_m,2) + p(H_m,3) H----,

3=1

stąd zaś p(H_mt 1) = p(H_mt 2) = p(H_m, 3) = ... = p(H_m) dla każdego me N. Wobec Stwierdzenia 4.9 (ii), p{H) = lim p(H_m) = 0.    □

Dowód Lematu 4.33. Wybieramy kolejne kostki diadyczne zawarte w D indukcyjnie, zaczynając od największych (o krawędzi 1), a potem przechodząc do kolejnych generacji i dokładając nowe, coraz drobniejsze kostki, które mieszczą się w Q. Niech Kq będzie sumą wszystkich kostek rodziny zawartych w D. Jeśli m = 0,1,2... i zbiory Ko,..., K_m C D zostały już zdefiniowane, to przyjmujemy jako K_m+i sumę tych kostek z rodziny ^_m+i, które są zawarte wili mają wnętrza rozłączne z Ko U ... U K_m.

Zbiór Ko U K\ U K2 U... jest sumą przeliczalnie wielu kostek diadycznych o wnętrzach parami rozłącznych. Wprost z definicji K_m wynika, że K_m C D dla m = 0,1,2,..., więc oczywiście K0UK1 U^U. ..Cfi. Inkluzja przeciwna wynika z otwartości Q; uzupełnienie nietrudnych szczegółów pozostawiamy Czytelnikowi jako zadanie. □

Dowód Twierdzenia 4.31. Niech

Wystarczy wykazać, że £ = \_n na Jrf (M"). Dowód przeprowadzimy, wzbogacając stopniowo klasę zbiorów, na której obie miary są równe.

Krok 1. Miary £ i X_n pokrywają się na kostkach diadycznych. To łatwo wynika z niezmien-niczności obu miar ze względu na przesunięcia i z Lematu 4.32.¹ Istotnie, ponieważ dla k = 0,1,2,... kostka [0,1]” jest sumą 2^kn przystających kostek (o wnętrzach parami rozłącznych), które są obrazami [0, l/2^fe]ⁿ w odpowiednich przesunięciach, więc

1 = {([0,1)”) = 2“f([0,i]") = 2²“J([0, i]") = ... = 2‘“{([0,£]”) = ..., fc = 0,1,2,...

Zatem £(Q) = 2~^kn = A_n(Q) dla wszystkich Q e &k, k = 0,1,2,

Krok 2. Miary £ i \_n pokrywają się na zbiorach otwartych. To wynika z poprzedniego kroku dowodu i z Lematu 4.33. Jeśli D = U£iQi,to

m) = E«Ci) =    = A„(n);

ś=l    i=1

1

Można stosować ten lemat do miary która jest niezmiennicza ze względu na przesunięcia.