9414912645

90

wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015

Każdy przedział P € & możemy rozdrobnić, tzn. podzielić nam - k" przystających przedziałów domkniętych P\,..., P_m, dzieląc każdą krawędź P na k równych części. Czytelnik zechce samodzielnie sprawdzić, że wtedy

vol (P) = ^ vol (Pi) = m ■ vol (Pi) = kⁿ ■ vol (Pi).

Dobierając do danego P odpowiednio dużą liczbę k = k(P), uzyskamy wszystkie przedziały Pj o średnicy mniejszej niż d. Można więc bez zmniejszenia ogólności założyć, że & składa się tylko z przedziałów o średnicy mniejszej niż d. Każdy z tych przedziałów może przecinać co najwyżej jeden ze zbiorów A i B, gdyż dist (A, B) > 2 d. Usuńmy z AA te przedziały, które nie mają punktów wspólnych z A U B i otrzymaną rodzinę podzielmy na dwie, SA a i SAb, złożone odpowiednio z przedziałów, mających punkty wspólne z A i przedziałów, mających punkty wspólne z B. Jest jasne, że SA a pokrywa A, zaś £Ab pokrywa B. Dlatego

K(A)< £ vol (P), A;(B)< £ TOI (P).

Pe&A    P€&b

Dodając te nierówności, otrzymujemy

A* (A) + A* (B) < £ vol(P) + £ vol(P)< £ vol(P) < A^(AlUB)+£.

Pei?_A    Pe&B    Pe£P

Przechodząc do granicy e —> 0, dostajemy warunek (4.13), co kończy dowód. □

Definicja 4.24. Miara zewnętrzna A* ograniczona do <7-ciał a ^(A*) =: JA (MS) podzbiorów A* -mierzalnych przestrzeni Rⁿ nazywa się miarą Lebesgue’a w Rⁿ.

Elementy cr-ciała JA(Rⁿ) nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a w Rⁿ, lub krótko: zbiorami \_n-mierzalnymi. Dla A e JA (W¹) piszemy A* (^4) = A_n(A).

Aby opisać zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a nieco dokładniej, wprowadzimy dwie klasy podzbiorów Rⁿ.

Definicja 4.25. Zbiór G c Rⁿ nazywa się zbiorem klasy G,5 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją zbiory otwarte Oj cK”,i = 1,2,..., takie, że

g=[W

Zbiór F jest klasy F_a wtedy i tylko wtedy, gdy jego uzupełnienie Rⁿ \ F jest zbiorem klasy

G*.

Inaczej mówiąc, zbiory klasy Gs to przeliczalne przecięcia zbiorów otwartych, a zbiory klasy F_a to przeliczalne sumy zbiorów domkniętych. Każdy zbiór otwarty jest oczywiście klasy Gs, a każdy zbiór domknięty jest klasy F_a. Zbiór liczb wymiernych jest klasy F_a, bo jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów jednopunktowych, ale nie jest klasy Gs (to wynika z twierdzenia Baire’a, które Czytelnik poznał na wykładach z topologii). Każdy przedział w R jest jednocześnie zbiorem klasy Gs i F„.

Wprost z definicji wynika, że zarówno zbiory klasy Gs, jak i zbiory klasy F_a, są zbiorami borelowskimi.