9414912647

wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015

Zatem A* (G \ A) = O i otrzymaliśmy warunek (iii).

(iii) => (i). Każdy zbiór G typu Gs jest borelowski (jako przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów otwartych), więc jest mierzalny w sensie Lebesgue’a. Mamy też A*(G \ A) = 0, zbiór G \ A jest więc mierzalny na mocy Stwierdzenia 4.13. Ponieważ AcG, więc

A = G\(G\A) eif(Mⁿ),

jako różnica dwóch zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a.

Aby zakończyć cały dowód, zauważmy, że (iv) zachodzi dla Mⁿ \ A wtedy i tylko wtedy, gdy (ii) zachodzi dla A. Stąd i z praw De Morgana wynika równoważność (ii) oraz (iv). Podobnie uzyskuje się równoważność (iii) oraz (v). □

Wniosek 4.27. Każdy zbiór A e JZ(Wj jest sumą pewnego zbioru borelowskiego i pewnego zbioru Z takiego, że \_n(Z) — 0

Dowód. Teza wynika z równoważności (i) (v) w ostatnim twierdzeniu, gdyż każdy zbiór

F typu F_a należy do a-ciała zbiorów borelowskich Ś§(Rⁿ). □

Uwaga 4.28. Wynika stąd, że <r-ciało JZ(Rⁿ) jest istotnie większe niż F§(Rⁿ): każdy podzbiór zbioru miary zero jest zbiorem mierzalnym, a ponieważ istnieją zbiory miary zero i mocy continuum (np. zbiór Cantora, z którym Czytelnik zetknął się podczas wykładów Analizy I), więc rodzina (Rⁿ) jest równoliczna z rodziną 2^Rn wszystkich podzbiorów Rⁿ, natomiast &(Rⁿ) jest “zaledwie” mocy continuum. □

Znamy w tej chwili formalną definicję miary Lebesgue’a A_n i er-ciała Jź?(Rⁿ), na którym jest określona. Nie potrafimy jednak obliczać miary zbyt wielu zbiorów (wyjąwszy, być może, zbiory miary zero). Zacznijmy od prostego stwierdzenia, potwierdzającego, że -zgodnie z naturalną intuicją - miara Lebesgue’a przedziału n-wymiarowego jest równa jego objętości.

Stwierdzenie 4.29. Dla każdego przedziału P jest vol (P) — A_n(P).

Dowód. Z konstrukcji wynika, że A_n(P) < vol (P): przedział sam jest swoim (co najwyżej przeliczalnym) pokryciem, a miarę zewnętrzną definiujemy jako kres dolny sum objętości dla wszystkich pokryć. Wykażemy, że dla każdego e > 0 zachodzi nierówność vol (P) < A_n(P) + e; to wystarczy, żeby zakończyć dowód.

Ustalmy e > 0. Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że P jest przedziałem domkniętym. Dobierzmy rodzinę & przedziałów otwartych Ri,i = 1,2,... pokrywającą P i taką, że

X] V0l(fl,) <A„(P)+£.

RiC.®

Ponieważ P jest zbiorem zwartym, więc z rodziny FA można wybrać podrodzinę skończoną Ri,..., Rn, stanowiącą pokrycie P. Mamy zatem

vol (Ri) < ^ vol (Ri) < A„(P) + £.

i=l RiźSi

Niech d > 0 będzie liczbą Lebesgue’a pokrycia R\,., Rn zbioru P. Podzielmy przedział P na rn — k^Tl przystających przedziałów Pj, dzieląc każdą krawędź na k równych odcinków.