35 (214)

2.1. Funkcja, jej wykres i własności

2.1.5. Podstawowe

j a) Miejsce zerowe funkcji jest to ta wartość argumentu, dla której wartość funkcji jest równa zero. Miejsc zerowych funkcji szukamy, rozwiązując równanie

/(*) = 0 (wartość funkcji)    (zero)

b) Znaki funkcji (o problem znaków wartości funkcji.

Aby wyznaczyć te wartości argumentu (na przykład przedział), dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (odpowiednio ujemne), należy rozwiązać nierówność:

własności funkcji

d) Ekstremum globalne funkcji to wsjrólna nazwa najmniejszej (minimalnej) i największej (maksymalnej) wartości funkcji.

Funkcja / osiąga w punkcie x₀G D. (ewentualnie w przedziale {a;b), wartość najmniejszą (odpowiednio nąjwiększą) równąjeśli

m ,/(*) as

wartości funkcji nic przekraczają w dowolnym argumencie

/(*o)

wartości

ekstremalnej

I /(*) > o

(wartości dodatnie odpowiednio: funkcji) (znaku plusowego)

o

(wartości ujemne funkcji) (znaku

minusowego)

Wniosek dotyczący podpunktów a i b:

Zamiast rozwiązywać oddzielnie równanie: /(x) = 0 oraz dwie nierówności: f(x) > 0 i f(x) < 0, wystarczy rozwiązać tylko równanie: f(x) = 0 i obliczone miejsca zerowe zaznaczyć na osi liczbowej wraz z siatką znaków, która odpowiada znakom wartości funkcji, c) Monotoniczność funkcji to problem, dla jakich argumentów w jakich przedziałach (na osi OX) funkcja rośnie (//), a w jakich maleje (/\). Niech AcD_f (np. A = (a,b)).

Zatem /(*„) jest wartością najmniejszą (największą), gdy mniejszej (większej) nie ma. e) Superpozycja (złożenie) funkcji / z funkcją g jest to nowa funkcja h złożona w następujący sposób z funkcji / i g:

h:X

/»(*)=&(/(*))”V H (*)

superpozycja

Aby złożenie h: X — Z było zrealizowane, musi być spełniony warunek: A /(x) g D_f, a więc

f(X) £ D - Y. Niezrealizowanie tego warunku ilustruje następujący rysunek:

i wtedy f(x) g D_e czyli g (/(*))» nie istnieje (zbiór D = Y jest za mały i nie obejmuje wszystkich wartości funkcji /).

Uwaga: Składanie funkcji nic jest przemienne: 8‘ftf’g

f) Równość funkcji /, i /,:

D, = D, = D A ,A /,(*)-/,(*) identyczność dziedzin równość wurtoścl funkcji

2. FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

O