62 (257)

132    Szeregi zespolone

e) Stosujemy kryterium d’Alemberta. Marny

lim

n — co

2n+l	= lim n —* oo	e<(n+l)(n + l)"+‘	-K)'	= lim n — oo	e‘(n + l)^n
2n		<»+■>'Kr	in n e n		(^C+ ł) ""
	= lim	e'|(n + ir -rr- = lim -	^1 fl+	ir--	e

C +

e² + -

^e2n

Ponieważ

< i.

\T + l

więc z kryterium d’Alemberta wynika, że badany szereg jest zbieżny bezwzględnie, zatem jest też zbieżny.

Przykład f 2

Wyznaczyć promienie zbieżności podanych szeregów potęgowych:

, V    _nv'^e‘”(' + 0"    , f- (* - 2 +,)“

n=0    *    ■

Rozwiązanie

a) Mamy

<*)£

(_l)n_z2n

n = l

n = l

+ ^m n=o (3 - V7*)ⁿ

R. = lim

= lim

ⁿ-*°° \/M ^n_*°°

b) Mamy

1

= lim 1/1(2 + *)"l = lim |2 + .j = |2 + ,1 _ ^5

n—»oo    n—»oo    I ^v

R = lim —j-= lim —, *—= lim

n—*oo

ⁿ-°° ⁿ-°°

(a/")²    ..    /

= lim —— = lim (    ,

n-oc |e‘| n-oo'^Vn; = 1-

A' ostatniej równości wykorzystaliśmy fakt, iż lim \/n = 1.

n—*oo

:) Mamy

			1
= lim n—*oo	Cn	= lim n-*oo	n^2 + in
	Cn+l		l
			(n + l)^2 + t(n + 1)

= lim

n — oo

(n 4~ l)^ł + i(n + 1)

n² ■+■ in

= lim

n —oo

n² + (2 + i)n+H-i

n² + «n

= lim

n — oo

l₊ł±i ₊ ł + i

n_ n*

1 + i

n

Siódmy tydzień - odpowiedzi i wskazówki

d) Podstawmy z² = w i niech R\ będzie promieniem zbieżności szeregu

£ b-W'

Wtedy

133

R\ = lim

= lim

j"    ' lilii

^n—*°° v |c„|

N

(-1)"

= lim

n —• oo

\

(-1)"

= lim

n — oo

-1

= lim

n — oo

(3-^.)ⁿ

3 — y/li

-1

= |3 — n/7*| = 4.

^    /    2 \ n ^ n

Zatem szereg N    . _n jest zbieżny, gdy |u>| < 4, i rozbieżny, gdy |u>| > 4. Ponieważ

n=o (³ — v 7«)

|uj| = |z|², więc badany szereg jest zbieżny, gdy |z| < 2, i rozbieżny, gdy \z\ > 2. Stąd jego promień zbieżności R = 2.

Zadania

O Zadanie 7.1

Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność podanych szeregów:

n = 1

n = 1

co o

n⁴

in

n = l

n⁴ + i +~

(n + t)ⁿ

n = 1

O Zadanie 7.2

Znaleźć promienie zbieżności podanych szeregów potęgowych:

r^n	»)£ n=0
^ (-2i)"z^3" ^1 ^ n(l -t)^n n = 1 ' '	oo <*)£ n=0

n!

2"(n!)² (2n)! ^;

,2n.

c)D. ₊ 0"₂»;

n=0    n=l ^{v ;}

g*)£

I ,n

n! z

(n + i)ⁿ

n=0 '    '

Odpowiedzi i wskazówki

7.1    a), b), d) zbieżne bezwzględnie; c) zbieżny, ale nie zbieżny bezwzględnie; e) rozbieżny.

7.2    a) 1; b) oo; c) -£=; d) \/2; e) V2; f*) V2\ g*) e.

v2    <c~- ---