0410

412

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

(15) S(x+y) = S(x)-C(y)+C(x)S(y), prawdziwe dla wszystkich wartości x i y.

Kontynuujemy badanie własności funkcji C (jc) i S (jc). Zastępując x przez — x otrzymamy od razu, że C (jc) jest funkcją parzystą, a 5 (jc) — nieparzystą:

C(-x) = C(jc), 5(-x) = -S(jc) ,

Przyjmując jc = 0 otrzymujemy

C(0) = 1, 5(0) = 0.

Jeśli przy dowolnym x podstawimy teraz w (14) y = — jc, to uwzględniając wyprowadzone przed chwilą równości otrzymamy zależność algebraiczną wiążącą obie funkcje

(16) C²(jc)+5²(jc) = 1 .

Łatwo też otrzymać wzory dla podwojonego i połówkowego argumentu.

Z twierdzeń 2° z ustępu 437 i 9° z ustępu 438 wnosimy, że obie funkcje C(jc) i 5 (jc) są nie tylko ciągłe, ale mają też ciągle pochodne wszystkich rzędów. W szczególności, stosując do tych szeregów określających nasze funkcje różniczkowanie wyraz za wyrazem [8°, 438], przekonamy się łatwo, że

(17) C'(jc) = -5(jc), S'(x) =C(x).

Jak widzieliśmy, wszystkie te własności można łatwo wyprowadzić. Trochę więcej wysiłku wymagać będzie dowód okresowości rozpatrywanych funkcji, do czego teraz przejdziemy.

Stwierdzimy najpierw, że w przedziale (0, 2) istnieje dokładnie jeden pierwiastek funkcji C (jc). Rzeczywiście, wiemy, że C (0) = 1. Natomiast wartość C(2) można zapisać w postaci

C( 2) =

(wydzielając trzy pierwsze wyrazy odpowiedniego szeregu a pozostałe łącząc parami). Ponieważ wyrażenia w każdym nawiasie są dodatnie

2^ł" 2²"+² 2²" L 2-2 \ _>{)

(2/i)! (2/i+2)! “ (2«)! \ (2/i+ł) (2//+2) / ’

a suma pierwszych trzech wyrazów jest równa — y , więc C (2)< ~ , tzn. C (2) jest ujemne. Ponieważ funkcja C (jc) jest ciągła, wynika stąd, że funkcja ta rzeczywiście ma pierwiastek w przedziale (0,2).

Z drugiej strony, w tym właśnie przedziale funkcja

5 (jc) = jc

zachowuje oczywiście znak dodatni, a pochodna C%v) — — 5(jc) ujemny, a więc funkcja C(.v) maleje od 0 do 2 i raz tylko przyjmuje wartość 0.

Oznaczmy teraz znaleziony pierwiastek funkcji C (jc) przez -y rr; liczbę n wprowadzamy tu, ja k widać w sposób całkiem formalny i nie należy utożsamiać jej ze stosunkiem obwodu kola do średnicy.

Mamy więc:

C(fr) = °, 5(|w)=l.

Ostatnia równość wynika z (16) po uwzględnieniu tego, że funkcja 5 (jc) jest dodatnia dla 0<x<2.

Przyjmując we wzorach (14) i (15) najpierw x = y = y rr, a następnie x = y — n, otrzymujemy kolejno:

C(jt) = -1, 5(n) = 0: C(2jt) = 1, 5(2n) = 0 .

Jeżeli we wzorach tych, przy dowolnym jc przyjmiemy y = k lub y — 27t, to otrzymujemy (18) C Cv+7c) = - C (jc), 5 (*+*) = -5 (jc)