0422

424

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Aby wyznaczyć te współczynniki, zróżniczkujemy równość (9) względem a:

—-------— = Pt+2P₂ <x+ ... +nP.<x'~'+ ...

(|/l — 2x<x + (X²y

Porównując ten wynik z (9) łatwo otrzymujemy

(l-2*«+a^J)(P₁+2P₂a+ ...    ...) = (x~ «) (1 +i», *+P₂ a²+ ... +/>„*■ + ...).

Porównujemy teraz współczynniki przy jednakowych potęgach po obu stronach. Otrzymamy przede wszystkim

P_t = x i 2P₂—2xPi = — 1+jcPj,    skąd P₂ = ^3j:ł~¹ .

2

Potem ogólnie

(/!+1) P„+t—2nx P_n+(n—l) P„-t = xP_n-P,-t lub

(n +1) P„+i — (2n+1) x P_n + nP„-t = 0.

Znając dwa pierwsze wielomiany, możemy z tego wzoru redukcyjnego obliczyć kolejno wszystkie pozostałe.

Na pierwszy rzut oka widać, że wielomiany Pj i P₂ są dwoma wielomianami Legendre’a, a wspomniany przed chwilą wzór jest identyczny z analogicznym wzorem (11) ustępu 320, z którego otrzymaliśmy wielomiany Legendre’a. Wnioskujemy stąd, że współczynnikami rozwinięcia (9) są włainie wielomiany Legendre'a.

W związku z tym funkcję

1

}/\ — 2txx+<x²

dwóch zmiennych ot i x nazywamy funkcją generującą wielomianów Legendre’a. Rozwinięcie (9) można z powodzeniem wykorzystać do badania tych wielomianów.

448. Dzielenie szeregów potęgowych. Bardzo ważnym przykładem zastosowania twierdzenia o podstawianiu szeregu do szeregu jest zagadnienie dzielenia szeregów potęgowych.

Niech wyraz wolny a₀ szeregu (1) będzie różny odO. Przedstawmy ten szereg w postaci

a₀(H—-x-l—— x² + ... H——x"+ ...^= UoO+y)>

V ^ao ^ao    ^ao    )

przyjmując, że

Ci 1 Cl 2 Ą = —^Lx + — x^2+ ..	.. + — x”+
Oq &0	flo

Stąd

1

a₀ + fli x + ... +a_n x" +

V- • -r~ = ~^-y+y^l- ... +(-1)"/"+ •••)

Ten ostatni szereg odgrywa rolę szeregu (6), przy czym p = 1. Zgodnie z ogólnym twierdzeniem wyrażenie to można rozwinąć według potęg x:

-:-¹ ,-f:- = Co + Ct X+ ... +c* X*+ ....

o^-ł-fli x+ ... +a„ x"+ ...

przynajmniej dla dostatecznie małych wartości x, na przykład dla x spełniających nie-