0474

476

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Uwaga. Wyjaśnimy na zakończenie, w jaki sposób można wyznaczyć wartość staiej C występującej w przedstawionym poprzednio rozwinięciu. Obierając pewną wartość b>a, dla której możemy łatwo obli¹ czyć sumę i całkę, otrzymujemy szereg oscylujący wokół stałej C

b    b

c = £]/(¹)- j- f f{x) dx+ y/(ó)-    hf'(b)+ h³f"Xb)~ ...,

m    «t

z którego w wielu przypadkach można obliczyć przybliżoną wartość C.

469, Wzór i szereg Stirlinga. Jako ważny przykład wykorzystania rozwinięć otrzymanych w poprzednim ustępie podamy ich zastosowanie do obliczenia liczby

In (n!) = In /i+ ^ ln i.

1-1

Biorąc a — 1 ,h= li b = n (po zastąpieniu n przez n— 1) przyjmiemy f(z) = ln z, skąd /<">(z) = (-l)—²

z"

a więc warunki a) i b) są spełnione. Otrzymujemy w ten sposób rozwinięcie asymptotyczne ln(n!) ('): (26)

1

In (/i!) ~ C+ (n+ —\ ln»-n+    • ---^---V + •••    -—

\    2/    1-2 n 3-4 n¹    (2¹-l):

• + ...

I 2k    zi“-‘

Jest to tak zwany szereg Stirlinga, jest on wyraźnie rozbieżny, gdyż wartość bezwzględna jego wyrazu

*2¹

ogólnego [449], która wynosi -

(2¹—2)!    . . .

irry » dąży do oo.

2 n²n    (2tt/i)²‘-²

Z rozwinięcia asymptotycznego ln (n!) możemy otrzymać rozwinięcie samej silni, jak to widzieliśmy w ustępie 464, 3°. A mianowicie, podstawiając zamiast współczynników B_k ich wartości liczbowe, mamy

nl ~ }/2nn (—\ |lH-----1--i——

\e) \    12n    288/i²

139

571

51840/ł³

2488320/1⁴

Gdy obetniemy szereg (26) zadowalając się napisanymi wyrazami, lecz dodamy resztę, to otrzymamy wzór Stirlinga

(27) ln (/.!) = C+ (zi+ i-) lnn-n+ -®ł- • ±    • -i- + ...

\    2/    1¹2 n 3¹4 #r

— -K-1)¹"¹-—---5--h0(-l)¹----i—,

(2Jfc—1)2¹    /»¹»-¹    (2¹+l)(2¹+2)

który, jak zobaczymy, jest już całkiem dogodny dla rachunków przybliżonych.

Przyjmując ¹ = 1 otrzymujemy prosty i ważny przypadek szczególny wzoru Stirlinga

ln(/i!) = C+ ^n+    In/i—n+

piszemy go zwykle w postaci

n! = ^    e^tli2\

1

Do sumy logarytmów dodajemy napisany osobno ln n. Liczba 1 otrzymana przy całkowaniu jako składnik zosta ła włączona do C.