213(1)

jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli zbieżny jest szereg powstały z wartości bezwzględnych jego wyrazów, czyli szereg

^ \a„\ =    •••    (2)

f7«= 1

Jeżeli szereg (1) o wyrazach dowolnych jest zbieżny, ale nie jest zbieżny szereg (2), to szereg (1) nazywamy zbieżnym warunkowo.

Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

Szereg przemienny (w którym znak wyrazu następnego jest zawsze przeciwny do znaku wyrazu poprzedniego)

+ <»

'k (— l)^'^ - a^—aiĄ-a^—a^Ą- ..., a„ > O

n= 1

jest zbieżny jeżeli jego wyrazy co do wartości bezwzględnej stale maleją, dążąc przy tym do zera, czyli gdy

> a_z > a₃......oraz lim a„ = O (kryterium Leibniza).

crj

Korzystając z szeregów liczbowych (zbieżnych) w praktyce ograniczamy się zwykle do kilku wyrazów początkowych szeregu. W przypadku szeregów przemiennych błąd, jaki przy tym powstaje (reszta szeregu), można bardzo : prosto oszacować. Mianowicie: błąd powstały przy zastąpieniu sumy zbieżnego szeregu przemiennego sumą kilku początkowych jego wyrazów, jest mniejszy od wartości bezwzględnej pierwszego z odrzuconych wyrazów.\

9P7. Zbadać zbieżność poniższych szeregów o wyrazach dowolnych. _;j Określić, czy są to szeregi zbieżne bezwzględnie, czy zbieżne warunkowo, czy też rozbieżne:

1 c ł—H i W	• 2)	+ 00 V	cos not
jż-J 2n—l n = l		/ j n-0	2"
4- co V (-1)"	4)	-ł- co 2 n^= 1	nn
A «(«+!) n = l			sin ^

Rozwiązanie: 1) Wyrazy danego szeregu przemiennego maleją stale co do wartości bezwzględnej, dążąc przy tym do zera, gdyż ¹

Dlatego, zgodnie z kryterium Leibniza, jest to szereg zbieżny. Aby ustalić, czy jest on zbieżny beawzględnie, czy tylko warunkowo, badamy szereg

v' i    '

o wyrazach dodatnich 2n-\ ^utworzony ⁷ bezwzględnych wartości wyjściowego szeregu.

Stosując kryterium całkowe

f* _im

J 2x—1    2    ® • 2x—1

= y[limln(2*-l)]? = y limln (2^3-1) = +oo

stwierdzamy, że szereg o wyrazach dodatnich jest rozbieżny. Wobec tego badany szereg jest zbieżny warunkowo.

2)    Zastępujemy wyrazy danego szeregu przemiennego, gdzie a jest dowolną liczbą, ich bezwzględnymi wartościami i badamy otrzymany

szereg ^ ^J o wyrazach dodatnich. Porównujemy go z malejącym

\ ’ l

szeregiem geometrycznym zbieżnym 2j ₂n ■ Każdy z wyrazów badanego

szeregu jest nie większy od odpowiedniego wyrazu szeregu geometrycznego,

mamy bowiem —^a <-^_n-. Wobec tego, na mocy kryterium porównaw-

czego, badany szereg o wyrazach dodatnich jest zbieżny, a tym samym dany szereg 2) jest zbieżny bezwzględnie.

3)    Wyrazy danego przemiennego szeregu maleją co do wartości bezwzglę

dnej, dążąc przy tym do zera, gdyż > \ > -¹- ..., lim - , ¹-₁- = 0. A więc zgodnie z kryterium Leibniza, szereg ten jest zbieżny. Z drugiej strony, szereg    ~- - utworzony z bezwzględnych wartości wyrazów

szeregu danego jest także zbieżny, o czym można się przekonać przez zastosowanie kryterium całkowego

^obec tego rozważany szereg jest zbieżny bezwzględnie.

429

1

lim ----_r = O