228 (73)

E (g 1 (X) + g₂(X))= ę (g_t (x₄)+ £₂(x*)) p_k

jp Bdyż rozważany tu szereg jest bezwzględnie zbieżny z uwagi na nierówność

Z \gi(x_k)+g₂(x_k)\p_kś £ |g,(x*)|p* + £ k₃(A*₄)|p₄

lB^®2enie o istnieniu wartości przeciętnych E(g_l(X)), E(g₂(X)), tzn. założenie bez-i zbieżności szeregów £ |gi(*k)|/fc,    ZM**)|a-

Dowód. Zauważmy, że

(1)    (k + l)[c+k(ii-k-l)]ł>(k + l)-(n-kHI>+ks)i>(k), _<

gdzie prawdopodobieństwo P(X-k) oznaczono dla prostoty zapisu przez prut Mnożąc równość (1) przez (k + 1)' i przekształcając otrzymujemy

(2)    <c + ns)<k+l)'^ł,m + D —s(k+I)'⁺²m + l)=

= ón<k+l)'P(k)-(ł>-sn)k(k + l)'P(k)-ik²(k+iy^_u Ponieważ równość (2) jest prawdziwa dla k = 0, I, 2, .... n, więc

(3)    (c + siOf <k + I)'* ¹ P(k + l)-s | (k + I)''*²P(k + l) =

= bni(k + \YP(k)-(b-sn)i" k(k + imk)-sj>²(k + l)'p_(t| Korzystając z równości (3) otrzymujemy

(rt.«iln„₁-!m,„ = taj £    ) k'~¹ P(k)-

i (^,ł)fc'^ł,-^,p(fc)-st i(;)k-»-p₍k).

czyli

(4)    (c + sn)m_f+l-sm, _{+ 2} = 6n X    (/) m,₊ ,_,-s J ) m,_+ł-.

Po dalszych przekształceniach równości (4) mamy (c + sn)m, ₊ i+(b—sn)m,_{+ l}+srm_r+, =

(i+«)“'(#+a))    ^r=0,K2.....

z czego wynika bezpośrednio teza twierdzenia.

Uwaga. Przypominamy, że w przypadku gdy r oraz / są liczbami całkowitymi ujemnymi, to ^ = 0 dla r</, oraz w₀=l.

Jako wnioski otrzymuje się twierdzenia następujące:

Twierdzenie 6.5.2. Wzór rekurencyjny na momenty zwykłe, w przypadku gdy ^ łonowa podlega rozkładowi hipergeometrycznemu, jest następujący:

(6.5.12) m„,    (b„ (;)-(* + ■)    ,) + (,;,))_»r-«.    '=°< ¹ ’ ²- "

Dowód. Podstawiając do wzoru (6.5.1!) s= — 1 otrzymujemy tezę twierd

-_N,_r 6.5.3. Wzór rekurencyjny na momenty zwykłe, w przypadku gdy zmienna

_ea rozkładowi Bernoułliego, jest następujący:

^m--#0)-U))^m'- ^r=0-'-²’ -

_wód Przez podstawienie do wzoru (6.5.11) 5=0 oraz bjN=p otrzymujemy tezę. nie 6.5.4. Wzór rekurencyjny na momenty zwykłe, w przypadku gdy zmienna ta rozkładowi Poissona, jest następujący:

„5.14)    ^r=⁰''-²"-

| powód Przechodząc we wzorze 6.5.13 do granicy, gdy n-> co i uwzględniając, że

otrzymujemy tezę.

§66. Wartość przeciętna

I Dbfinicj ' 6.6.1. Wartością przeciętną zmiennej losowej g(X) nazywamy wyrażenie £(*(*))= £*(*,) Pi

gfnypadku zmiennej losowej X skokowej o punktach skokowych x_k i skokach p_k (k gjone lub przeliczalne), a w przypadku zmiennej losowej X ciągłej o gęstości f(x) —

E(g(x))=*fj(x)f(x)dx,

⁰ ile szereg lub całka są bezwzględnie zbieżne (por. uwagi w definicji 6.5.1).

Wartość przeciętna zmiennej losowej X ma następujące zasadnicze własności: Własność 6.6.1. Jeżeli gi(X) i g₂(X) są dwiema jednoznacznymi funkcjami zmiennej X oraz jeżeli istnieją wartości przeciętne E(g_l(X)) i £(g₂W)> to E(g_l(X)+g₁( X))=

riw E(g₂(X)).

j^p^owód. Dowód przeprowadzimy w' przypadku zmiennej losowej skokowej. Wartość Iłfeeciętna sumy

Lknieie