zdjecie0022

24

Twierdzenie 1.7. Każdy ciąg monotonlczny =» granicę:

a)    właściwą, gdy Jeot ograniczony,

b)    niewłaściwą, gdy nic Jeot ograniczony.

Dowód. Rozpatrzały tylko przypadek ciągu rosnącego. V przypadku ciągu aalcjąccgo dowód jest analogiczny i proponujeny go jako ćwiczenie.

Ad a. Klech K będzie kreaec górnym zbioru złożonego z wyrazów [a^j. Z twierdzenia 1.2 wynika, że

V£ >0 3n_o : I -£ < a_a .

O

V n b. n

o

a < a .

a ' o

> V

Ponieważ ciąg £ a^ Jest rosnący, więc dla a więc

Z - £ <a_Q ^ a_n Z < K ♦ i dla n a to oznacza, że lim a ■ K .

s

n-*<a?

Ad b. Stąd, ze ciąg (a_&| Jest rosnący i nie jest ograniczony wynika,że nie jeet ograniczony z góry. Zatem VH ]a_A : a > K. Z mono to-

O 21

nlcznoócl ciągu [^aaj wynika, te

*n>*n^{>M dla tt}> V

o

czyli

lim a - + co .

n~Kt> ⁿ

Twierdzenie l.a. Jeżeli 1. lic a - a, 2.1Ul b - b i a<b,to

n-KD    n-«co ⁿ

istnieje takie n , że a <b„ dla n>n -

Jo wód, Weźmy £ «•    Z założenia 1 istnieje takie n.j, żc

a - £ < »_a < a + £    dla    n> a,    (1.1)

0.2)

Analogicznie t założenia 2 istnieje takie n->, żo b-£<b_n<b + £    dla    n> n₂ .

Siech n_p - aar^.r^). Z nierówności (1.1) i (1.2) otrzynujcay