S6300949

I L^log* l¹- tJJ

sierdzenia o granicach właściwych ciągów

1

,przy

przystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć podane granice:

b) lim

h) lim

kład 1.7

3ⁿ — 2ⁿ a) Sb 4ⁿ - 3ⁿ ’ _c) lim —-—;

n-oo n

_e) lim (\/n* + n- v^n⁴ + l);

1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) J ^ So 4 + 7 +10 + ... + (3n + 1) ’

5n⁶ — 3 n⁴ + 2

n-»oo 5 — 10 n⁶    ’

d) lim łgg!^(n+V>.. n—Oo log₃ (n+1) ’

f) lim ("» +*)(*>-1)1 n—oo    (2n + 1)1 + 1 ’

1 + 2 + 2² + ... + 2²ⁿ

Rozwiązanie

(3ⁿ-2ⁿ)

OO 4 + 4² + 4³ + . . . + 4n '

fET-l	'lY Hm (:	IV-Hm (:	^LV n „
\4/ '	<2/ _ n—*oo \<	4 J n.—>oo V'	2/ . 0-0

lim 1— lim f—\ n—*oo    n—♦oo \ 4 /

i-o

-o.

W miejscu oznaczonym (*) korzystaliśmy z równości lim qⁿ = 0, gdzie \q\ < 1. Korzystaliśmy także z twierdzeń o granicy różnicy i ilorazu ciągów.

(5n⁶-3n⁴ + 2) . _ne 5) ij_m    —— _-L == hm

tt-*oo (5 — 10n⁶)    : n⁶ n—*oo    5

tt

10

3    2

lim 5 — lim —- + lim —

n—»oo    n—*oo Tl^z    n—>oo U⁶

lim — lim 10

n—*oo 71°    n > oo

5-0+0_    1

0-10 “ 2‘

W rozwiązaniu korzystaliśmy z twierdzeń o granicy sumy, różnicy oraz ilorazu ciągów.

3/1 ₊ 1

c) lim ME - _lim V n n

^{1 n} r»—*oo    1

= 0.

■iii

n-oo n

MMMa

umil

1