PB032271

TWIERDZENIE 2.17

Granica ciągu liczi

i Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Na podstaw ie przykładu 2.74 wiemy, że ciąg (<*«) o wyrazie ogólnym a_m — Jli} •

n ^JCst&

ny i jego granica jest równa 3. Na mocy twierdzenia 2.17 jest ograniczony; dla

n « N. spełniony jest warunek: 3<—— ^4.

n

• Zastos obliczi

TWIERDZENIE 2.18

Jeżeli ciąg jest ograniczony i monofoniczny, to jest ciągiem zbieżnym.

Przykład: Ciąg

wyrazie ogólnym a_n

-jest ciągiem rosnącym. J_e« ,,

« + l

Warto zaf nych gran

1.    lim —

n

2.    lim c:

m mo

3.    lim — »-*• n

4.    lim n

m mo

5.    lim(-»>«°

ciągiem ograniczonym, ponieważ dla każdego n e N+ spełniony jest warunek:

2 H 1

"+1

Na mocy twierdzenia 2.18 jest ciągiem zbieżnym. Łatwo wykazać, że lim-- i

"-**> n+1

3 PRZYK-

Oblicz ^

TWIERDZENIE 2.19
Jeżeli lim =g, to /\ lim(k a„ ) = k g. ^ keR ^n-*^m
TWIERDZENIE 2.20 (DOTYCZĄCE DZIAŁAŃ NA GRANICACH)
Jeżeli lim an — a i lim b„ = b, to: i n h ^7/f-KO /r-łoo 1.    lim(a„+ón)=a + b l»->00 2.    Iim(an —i ) =a—b 71—>oo 3.    lim(a„ *„) = «* a—>oo

ROZW

Zpostai

nieskoń

niem ni

licznik dy ciąg, nic ciąg

lim

łl-MO

TWIERDZENIE 2.21

Przy ot ciągów

i._r n