9414912686

12

WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Granica ciągu

Liczbę a nazywamy granicą ciągu {a_n}, co zapisujemy

lim a_n = a

n—>oo

jeżeli każde otoczenie liczby a zawiera prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Jest to równoważne następującemu zapisowi: dla każdego e > O prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają nierówność \a_n — a\ < e. Jeżeli ciąg {a_n} posiada granicę skończoną to mówimy, że ciąg jest zbieżny. Ciąg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Można wykazać następujące

Twierdzenie 1.6. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Twierdzenie 1.7. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Wśród ciągów rozbieżnych wyróżniamy takie które są rozbieżne do +oo lub —oo, czyli lim a_n = oo lub lim a_n = —oo Wyznaczanie granic ciągów ułatwia następujące twierdzenie Twierdzenie 1.8. Jeżeli ciągi {a_n},{6_n} są zbieżne oraz

lim a_n = a lim b_n = b

n—>oo    n—>oo

to mamy następujące równości

a) lim (a_n ± b_n) — a ± b

n—> oo

b) lim (a_nb_n) — ab

n—>oo

a

b

c) lim p =

n—> oo b_n

gdy b_n yś O dla każdego n € N oraz b ^ 0.

Przy obliczaniu granic mogą wystąpić wyrażenia nieoznaczone

OO O    _n „fi . nr.

—,    -, O • oo, oo ,    0°,    1, oo — oo.

oo O

W tym przypadku nie można powiedzieć nic o zbieżności ciągu. Stosując odpowiednie przekształcenie wyrazu ogólnego a_n ciągu, można niejednokrotnie uwolnić się od wyrażenia nieoznaczonego.

Jeżeli a_n jest funkcją wymierną to wystarczy podzielić licznik oraz mianownik przez n występujące w najwyższej potędze mianownika.

Przykład 1.9. a) lim —■=- = lim -^ — -

³    ’ oo 3n² + 1 rwoo 3 +    3