9414912690

16

WYKŁAD 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

1.3 Kryteria zbieżności szeregów

Kryterium porównawcze

Bardzo wygodnym kryterium zbieżności szeregów jest kryterium porównawcze. Jeśli wyrazy szeregów Y2^ani spełniają warunki 0 < a_n < b_n dla dowolnego n 6 N, to

1.    Jeśli b_n jest zbieżny, to X)^an jest zbieżny.

2.    Jeśli ^an jest rozbieżny, to b_n jest rozbieżny.

W praktyce często porównujemy szereg z szeregiem ^ ^ dla którego mamy

a > 1 zbieżny a < 1 rozbieżny Przykład 1.16. Zbadać zbieżność szeregu

£4 =

/__/ _na

v ¹

" n² + 1

Rozwiązanie. Ponieważ

J_<J_

² + 1 - n²

oraz Y2 ^7 jest zbieżny (a = 2) to ^2 _n2+i jest zbieżny. Przykład 1.17. Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie. Ponieważ

" y/ń + r

1 1

2 y/n    y/ń+yfń y/n + 1

oraz ^ jest rozbieżny (q = to    _v/^₊₁ jest rozbieżny.

Kryterium d’Alamberta Rozpatrzmy szereg a_n, a_n > 0 oraz obliczmy granicę

Qn+1

{g > 1 to szereg jest rozbieżny g = 1 to kryterium nie rozstrzyga o zbieżności szeregu g < 1 to szereg jest zbieżny