2 (3)

68

3. Ciągi i szeregi liczbowe

Wybierzmy tak liczbę naturalną p, aby liczby 1,2,..., N były zawarte w zbiorze k_itk₂,..., k_p (stosujemy oznaczenia z definicji 3.S2). Wtedy przy n>p liczby a_lt ..., a_N redukują się w wyrażeniu s„—sj, tak, że |s„—sńl < e na mocy (26). Zatem ciąg {sj,} jest zbieżny do tej samej granicy co ciąg {s„}.

Zadania

1. Udowodnić, że zbieżność ciągu {s„} pociąga zbieżność {|s„|}. Czy prawdziwa jest implikacja odwrotna? Z Obliczyć lim (■_s/n²+n~n).

li—CO

3.    Niech s, = _v/2is_-+1 = ^/2+y/T. (n= 1,2,3,...). Udowodnić, że {s,} jest zbieżny i że j, < 2dlan = 1,2,3,».

4.    Znaleźć granice górną i dolną dla ciągu {s„} określonego wzorami:

Si = 0,    *2m ⁼ ł^s2m-I> ^s2ń+l ⁼ i+^s2m*

5.    Dla dowolnych dwu ciągów rzeczywistych {a,}, {b„} udowodnić, że

Umsup(a„+ó„) < lim supa.+lim supfe„

M— 00    H— 00

o ile tylko suma po prawej stronie nie ma postaci oo— do.

6.    Zbadać zachowanie (zbieżność lub rozbieżność) szeregów £<v

,)    a.= v^HT-^; b)

c)    a, = ((/n— 1)"; d) a, =    -—— dla zespolonych wartości z.

7. Udowodnić, że zbieżność £a„ pociąga zbieżność szeregu    o ile a, > 0.

8.    Udowodnić, że jeżeli {fc„} jest monofoniczny i ograniczony, a £a„ jest zbieżny, to £ajb, jest zbieżny.

9.    Znaleźć promień zbieżności dla następujących szeregów potęgowych:

a)    £nV, b) y^-z",

ł    m * m

10.    Przypuśćmy, że współczynniki szeregu potęgowego £a,z" są liczbami naturalnymi i nieskończenie wiele z nich jest różnych od 0. Udowodnić, że promień zbieżności jest co najwyżej równy 1,

11.    Niech a„ > 0, s„ = ai+...+a„ i szereg £a„ jest zbieżny.

a)    Udowodnić, że    j'

b)    Udowodnić, że

jest zbieżny.

“w

^SN+k

1    \ '(l_n ,

i wywnioskować stąd, że szereg > — jest rozbieżny, c) Udowodnić, że

-i

s«-x s.