78212

IV. Ciągi liczbowe

Przykład 1. Podciągami ciągu

11111111 1

2' 3' 4' 5' 6* 1' 8’ 9' 10’"‘

są na przykład

11111

lub

lub

2' 4' 6* 8’ 10““

1111

3’ 5’ 7’ 9'

1111

lub

2'

4' 8’ 16'“

1 _1_ _1_

9’ 16' 25 ’

.Jak widać |K>dciąg powstaje przez skreślenie pewnych wyrazów ciągu. Dlatego też podciągi nazywamy ciągami częściowymi i mówimy, że z ciągu (a„) został wyjęty podciąg.

2. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny

Definicja 3. Ciąg liczbowy (o_n) nazywamy postępem arytmetycznym, gdy

3 V

r€R n€N

U»i+1

= a„ + r.

Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego, bowiem r = a_n+i — a_n.

Własność 1. Jeśli (a_n) jest postępem arytmetycznym o różnicy r. to n-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

«n = ai + (n - l)r.

Definicja 4. Ciąg liczbowy (a„) nazywamy postępem geometrycznym. gdy

3 V a„+i = a„ • q. </€R n€K

Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego, bowiem q = —ti.

Własność 2. Jeśli (a_n) jest postępem geometrycznym o ilorazie q, to n-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

«n = ai?”"¹-

Definicja 5. n-tą sumą ciągu (a_n) nazywamy liczbę

n

S_n = <*! + a₂ + ... + a_n = ^2 °i-

«»i

Własność 3. 1) Jeśli (a„) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to

c    +«n    , _Ł ■    ___. _c    . n(n - 1)

b_n —---n lub inaczej b_n = na\ H----r.

2) Jeśli (a_n) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to

1 - o"

5„ = n«i, gdy q = 1.    5„=aj--, gdy q^ 1.

1 - q

27