32580

Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia, asymptoty.

Gdy współczynnik kierunkowy stycznej rośnie - o ile poruszamy sie w dodatnim kierunku osi QX, to krzywą o takiej właściwości nazywamy wypukłą (krzywa: wykres funkcji różniczkowalnej). Jeśli krzywa jest wypukła, to jej pochodna -funkcja której wartościami są pochodne, jest rosnąca. Stąd wnioskujemy, że dla krzywej wypukłej wyznaczanej przez wykres funkcji y = f(x) stale zachodzi

[/(*)]'= /”(*)> o.

Gdy współczynnik kierunkowy stycznej maleje - o ile poruszamy sie w dodatnim kierunku osi 0A\ to krzywą o takiej właściwości nazywamy wklęsłą. Jeśli krzywa jest wklęsła, to jej pochodna jest malejąca. Stąd wnioskujemy, że dla krzywej wklęsłej wyznaczanej przez wykres funkcji y = f(x) stale zachodzi

f(x) < 0.

Punkt przegięcia, to punkt oddzielający częśc wklęsłą krzywej od części wypukłej - oddziela znaczy, że jedno zjawisko zachodzi w kierunku dodatnim osi 0A' od punktu; zaś drugie w kierunku ujemnym od punktu.

Prostą y = Ax + D nazywamy asymptotą krzywej y = f(x) gdy A = lim / (x) oraz D = lim \f(x) — Aa*].

Analogicznie określamy asymptotę gdy x —» —oo. Mianowicie, piastą y = Ax + D nazywamy asymptotą krzywej y = f(x) gdy

A = lim / (a:) oraz D = lim \f(x) — Ax].

X—-OO    X—oo^1    J

Także prosta x = C bywa nazywana asymptotą (pionową) gdy lim f(x) = oo lub oo = lim f(x).

Twierdzenie de 1’Hospitala. (Łatwe) Gdy lim_x__af(x) = 0 = linijka g{x) oraz granica lim_x-.a istnieje - może być liczbą lub jedną z nieskończoności, to mamy równość

/(*)

9\x)

lim

X—<1

Twierdzenie de PHospitala. (TYudne) Gdy limx__a g(x) = oo oraz granica linix-.a istnieje - może być liczbą lub jedną z nieskończoności, to mamy równość

/(*)

lim

x—a

2