Ebook3

116 Rozdział I lun hunek róifliOikowii i l"l<» <rJo.\niiuini<i

ROZWIĄZANIE.

Rozważmy funkcję f(x) — ln (1 —    Mamy Df — (—oo,0)U(l, +oo).

Zatem (1, -Roo) C Df. Pokażemy, że dla x G (l,+oo) zachodzi f(x) > 0. Obliczamy pochodną funkcji /, po przekształceniach mamy

f\x) =--j—-—rr.

Ponieważ f'(x) < 0 dla x > 1, więc funkcja / jest ściśle malejąca na przedziale (l,+oo). Ponadto lim f(x) = lim (ln (1 —    ) = 0.

i—»+oo    x—»+oo \    X    l X J

Stąd wnioskujemy, że wykres funkcji znajduje się powyżej osi Ox dla x G (1, +oo). Zatem f(x) > 0 dla x G (1, +oo), co kończy dowód nierówności.

PRZYKŁAD 20. Wykorzystując twierdzenie Lagrange’a, wykazać, że dla dowolnych x,y G R prawdziwa jest nierówność: |sinx — siny| ^ \x — y|.

ROZWIĄZANIE.

Niech f(t) = sin t, t G [x,y\. Funkcja / jest ciągła na przedziale [rc, y], jest także różniczkowalna na przedziale (x,y). Na podstawie twierdzenia Lagrange’a istnieje to € (x, y) takie, że

f(y) ~ f{x)

Zatem

stąd

y -x

sin y — sin x y -x

sin y — sin x

— COS to,

y-x

= I cos to I.

Na podstawie własności wartości bezwzględnej mamy

I simy — sinzl —r-j = cos •

Ponieważ | cos to | < 1 dla to G R, więc

| siny - sinx| < |y - x|,

a stąd

| sin x — sin y\ ^ \x — y\.

4.7 Znajdywanie wielkości ekstremalnych

Metody rachunku różniczkowego można stosować w zadaniach praktycznych na znajdywanie optymalnego rozwiązania. Na początku zapisujemy wzór na badaną wielkość. Wzór ten zależy najczęściej od kilku zmiennych Korzystając z treści zadania, rugujemy wszystkie zmienne z wyjątkiem jednej i otrzymujemy wzór funkcji jednej zmiennej. Następnie szukamy największej (lub najmniejszej) wartości otrzymanej funkcji. Jeżeli funO ja rozważana jest w przedziale domkniętym, to znajdujemy największą (lub najmniejszą) wartość tej funkcji. Jeżeli funkcja rozważana jest w przedziale otwartym, to wyznaczamy punkty, w których funkcja ma minimum lokalne (lub maksimum lokalne). Następnie uzasadniamy, że w tym punkcie funkcja osiąga największą (odpowiednio najmniejszą) wartość.

PRZYKŁAD 21. W stożek o wysokości h i promieniu podstawy r wpisano walec o największej objętości w ten sposób, że jedna podstawa walca jest zawarta w podstawie stożka, a okrąg drugiej podstawy walca jest zawarty w powierzchni bocznej stożka. Obliczyć stosunek objętości stożka do objętości walca.

ROZWIĄZANIE.

W zadaniu mamy daną wysokość stożka równą h (h > 0) oraz promień podstawy stożka równy r (r > 0). Szukamy największej objętości walca wpisanego w stożek przy podanych w zadaniu warunkach.

Oznaczmy przez H wysokość walca, przez R promień podstawy walca Z treści zadania wynika, że 0 < H < h oraz 0 < R < r. Wykorzystamy wzór na objętość walca V_w = itR²H.

Rozważaną sytuację przedstawimy na rysunku, gdzie

\AB\=r, \AC\ = h, \AD\ = H, \CD\ = h - H.