Pochodne fukcji rozniczkowalnosc zad 1 7 odpowiedzi

88. Niech AcX, A * 0, A = A. Weźmy ycf(A). Wtedy istni {>»„) c f(A) (por. zad. 49. rozdz. V) taki, że y_K~* y przy n -* oo. 1 /.najdźmy teraz ciąg {x„} e A taki, że/(x„) = y„, n = 1, 2, ... Ponie¹ |c»t relatywnie zwarty (bo jest zbieżny do y) w zbiorze/ (/I), więc/' '({yj relatywnie zwarty (na mocy założenia). Ale {x„} e/‘ ‘({y_n}) zatem ■ relatywnie zwarty. Stąd wynika, że {x„} zawiera podciąg zbieżny do | elementu xeX. Bez straty ogólności możemy założyć, że sam ciąg /.bieżny do x. Ponieważ {x„} cf~ '({y_B})c/l oraz A jest domknięty, wi /. ciągłości funkcji / wnioskujemy, że y„ = /(xj ->/(x) = y. Stąd y =/(; zatem /(A) jest domknięty.

89. Przykładem takiej funkcji jest funkcja /: 0, -

Funkcja / jest, jak łatwo sprawdzić, ciągła na przedziale |^0, ^1,1

jednostajnie ciągła na tym przedziale. Z drugiej strony, dla dowolnie usta a e(0, 1] mamy

f(x)    y*

lim ^ = ^lim^ ^ = \uajif = + oo

(na mocy twierdzenia de 1’Hospitala). Zatem funkcja / nie spełnia wi Hóldera z żadnym wykładnikiem a, ae(0,1] oraz z żadną stałą dodatn

90. Wskazówka: Skorzystać z zad. 83.

Rozdział VIII

POCHODNE FUNKCJI. RÓŻNICZKOWALNOŚC

y/9 + 4H—3

h

9+4/i-9

| f'( 0+)-0.

» •) /'(-!)= -1.

Ii| (i'( I) = lim

g(\+h)-g(l)

-h ■ 3(3 + h)h

.1 H(21 -

, Ul D + <(2. D)-/(l, 1) __|im/(l + 2f. I f I)

BL (l+2t)^ł+(l+2f)(l+f) + 3(l + t)—1—4

|L I+4H-4f² + l + 3H-2t² + 3 + 3l-5    6r²+10f

■ lim --- lim-

lii i/‘J4,5) = 0, c) /C(l,0, - I) = -5. n.    -1. Wskazówka: Obliczyć/'(l+) i/'(l-).

i/'(2)- -3.

?■ /'(0 —) — l,/'(0+) “ 0, załom /'(O) nic iNlnieje.