KK1H0DNH rUNKCR tUMNICZKOWALNOSC
Podobnieapnwdzuny.że/'j = -x. Zatem /nic jest ró/nictl^fl w zbiorze {jc4: k ■* 0, ± 1, ± 2,...}, który ma własność wskazany w tekście
A2sin^
68. Mamy: /'(O) = lim —-— = lim A sin ^ = 0 oraz f'(x) m 2Jtł»'
eos - dla x # 0. Ponieważ lim/'(x) nie istnieje (dlaczego?), więc / nu- (* ciągła w punkcie x = 0.
69- f'(xo)- Z istnienia powyższej granicy i Pokazuje to przykład funkcji (0 dla x?t0 /W-jl dla x = 0,
70. a - -2, b--12. / nie jest różniczkowalna.
72. o - % b - 0.
/•(o-)- lim _ lim
Zatem / nie jest różniczkowalna w punkcie x = 0.
75. /'(0+) = /'(0-) = — ^, a więc/'(0) nie istnieje.
76. Przedstawiając/(x) = - — ^ cos 2x otrzymujemy, że /**(*) - -2"_,cos^2x+ ~V
77. Wskazówka: Przedstawić f(x) w postaci: f(x) = - t ^ cos 4«
• 0. , ję,- -Vix‘-y')-
-hv (**—>*) .= -- J
v'(y) + . Zalo/cmu Czyi'
•I . fl.l2,,, ,V** d<t, df 3ftw
z twierdzenia 0 różniczkowaniu fankcji ilożonytli
Kierunkiem tym jest gradient funkcji/(x, y) - x* + yłł 1»y w punki O lufy jest równy (5,5). Zatem spadek powierzchni w kierunku dwu»u>i n *,,r' ^w'ar*ki płaszczyzny xOy będzie największy.
**' ^cfsor u, o którym mowa w zadaniu, ma postać i
• = COS ot + sin a. Łatwo pokazać, że max - j. -y ) (dlaczego?)
M. Weźmy niezerowy wektor u = (u,, u2). Wtedy /■(0,0) . Um/^bAM , iint/J^! -
.lim
I «o l(tłut + /2u!) u} + ul '
...... .tcżcsóiności « = !H = I
ox oy
t (dyby / była różniczkowalna w punkcie (0,0), to istniałaby funkciii r (li,
• >%* te lim 'IV^ _ o i taka, źe f(ht, hx) = r(h|t hx) dla dowoln<
ik, li,) Stąd mamy:
r(fc„h,) hthl _0
lim — - lim U’
|i «l nieprawdą. Rzeczywiście, biorąc ciąg I