302 (11)

11. Ciqgłoi( i pochodna lankcil

11. CIĄGŁOŚĆ I POCHODNA FUNKCJI

11.4. PRAKTYCZNE ZASTOSOWANIE POCHODNEJ W ZADANIACH

OPTYMALIZACYJNYCH

11.4.1. Procedura rozwiązywania zadań optymalizacyjnych z wykorzystaniem pochodnej (I) (por. 3.3.2.)

W dziale 3, moduł 3.3.2. traktuje o zagadnieniu optymalizacji w odniesieniu do funkcji kwadratowej. Stąd też funkcja celu jest tam wyłącznie funkcją kwadratową, a poszukiwane ekstremum (optimum) jest związane z ekstremum funkcji kwadratowej.

Wykorzystując związek pochodnej funkcji z jej ekstremum (lokalnym), można optymalizować dowolną funkcję różniczkowalną (nie tylko kwadratową). Właśnie temu zagadnieniu poświęcony jest niniejszy moduł.

Oto kolejne etapy procedury rozwiązywania zadań optymalizacyjnych z wykorzystaniem pochodnej, zilustrowane przykładami:

Etapy procedury w zadaniu optymalizacyjnym, którego celem jest taki dobór parametrów, aby występująca w zadaniu wielkość osiągnęła ekstremum (globalne) w danym przedziale.

Dla porządku należy wypisać dane i sporządzić rysunek sytuacji, o której mowa w zadaniu. Najczęściej w zadaniach o bryłach chodzi o minimum powierzchni (by zużyć jak najmniej materiału na zbudowanie danej bryły) lub o maksimum objętości (np. aby pojemnik był o największej pojemności).

Zbudowanie funkcji celu, która na początku jest na ogół funkcją dwóch zmiennych.

Na podstawie danych informacji z treści zadania wyliczamy zależność jednej zmiennej od drugiej (występującej w funkcji celu).

Otrzymaną zależność podstawiamy do funkcji celu po to, by otrzymać zeń funkcję jednej zmiennej.

Ciąg dalszy na następnej stronic!

Przykłady

Który z walców o danej objętości V ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej?

Jakie powinny być wymiary stożka wpisanego w kulę o promieniu R, tak aby jego objętość była największa?

Dane:

V (literowo, nie liczbowo)

Szukane:

r, h (słowo „który” — dotyczy wymiarów walca), tak aby P było najmniejsze (r > 0,/» > 0)

P_e= 2nr + 2%rh P_e(r,h) = 2n(r²+rh\ funkcja dwóch zmiennych: r, h

Z danej objętości V = 71 r h obliczamy na przykład V

h =

nr

(lepiej wyliczyć h niż r, bo potrzebne byłoby r i r we wzorze na P).

P,(r) = 2Jc(r²+1£r);r>0 funkcja jednej zmiennej — r jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w swojej dziedzinie

Dane:

R (promień kuli dany literowo, nie liczbowo)

Szukane:

r, h (wymiary stożka), tak aby V była największa (r> 0,h > 0)

V- y nr‘

V (r, h) = jKr²h funkcja dwóch zmiennych r, h

Z danej informacji wpisania otrzymujemy trójkąt:

z którego obliczamy r = 2hR — h (wystarczy obliczyć r , nie samo r, bo we wzorze na V jest właśnie r ).

V (h) = jnRh -fJifi funkcja jednej zmiennej - h jako wielomian (III stopniu) jest funkcją różniczkowalną