299 (7)

11.1. Pochodna a monolonicinośi I ok«tiom»m

11.3.2. Związek pochodnej funkcji z monołonicznością i ekstremum funkcji (III)

iftoccdura wyznaczania ekstremum funkcji:

*

Etapy procedury dla hinkęji:

Mm

Przykłady

R

^y = Pi’ ^x * ¹

I Obliczamy po-' | chudną funkcji:

y' = 4x^ł+ 4*^J- 3a:⁴- 4at⁵ — j:*, x e R y' =- (a: + 2)^J(x +    - 1), (por. 3.6.6a.)

y =

/=/’(*) r

l Budujemy waru	y' = 0«-
nek konieczny	*|^B*Z ^=
na ekstremum.	x3 = -l
czyli rozwiązuje
my równanie:
81	^1

są to miejsca zerowe pochodnej.

czyli punkty, w których może być ekstremum (tzw. „punkty podejrzane”, kandydujące do ekstremum).

1

= 0

Badamy warunek wystarczający na ekstremum, czyli badany znak pochodnej w sąsiedztwie jej miejsc zerowych (czyli punktów kandydujących do ekstremum)

fi \ \ s / \ r-    , I , - ,

-2-10 1

Pochodna /' zmienia znak tylko w sąsiedztwie: x₃ = -1 i x_t = 1, zatem wr=-liwr = 1 jest ekstremum:

/: \ / / \

U

-11 \ 1 W sąsiedztwie punktu x =-l pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc w x =—i jest minimum, a w sąsiedztwie punktu x - 1 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc w x = 1 jest maksimum. W pozostałych punktach: * =-2 oraz x = 0 nie ma ekstremum, bo w ich sąsiedztwie pochodna nie zmienia znaku:

U"*)

(por. 3.8.2.)

Ib równanie nic ma rozwiązań: /'(*) # 0, x # 1, czyli brak ekstremum.

(por. uwaga 2 w 11.3.2.M) Ponadto w tym przykładzie bez dodatkowych obliczeń można omówić znak pochodnej, czyli monotonicz-ność funkcji:

BIS|K

(i-*)

x H 0, więc funkcja jest przedziałami rosnąca dla ić 6 (—oo; 1 oraz dla* e (1; +oo).

r; X / 1

U. CIĄGŁOŚĆ I POCHODNA FUNKCJI

\ \

/ /

Czyli funkcja w sąsiedztwie tych punktów nie zmienia typu monotoniczności (maleje i maleje, oraz rośnie i rośnie). Są to punkty przegięcia.

4. Obliczamy wartość funkcji j w punktach ekstremalnych

« « 3 ^{+ 1}    5    3    7    105

^aga:Poniższa ilustracja zachowania się pochodnej (/') i funkcji (/) na osi liczbowej w celu ustalenia 'btranum (na przykład w ww. przykładzie) upoważnia, bez dodatkowych obliczeń, do omówienia mono-⁽*"raiości funkcji na podstawie zaznaczonych znaków (+, -) pochodnej (por. wnioski z twierdzenia La-PMgc’aw 113.2a.).

|    \    \    S    /    \

/'••    -    -    »    +    -

-2-10 1

Ntów ww. przykładzie: // dla x e (-1; l)(/' > 0) oraz f\ dla *e(-co;-l) oraz dla