109401

Definicja. Zal . że /: A -> R, .t₀ e A. Wtedy:

(1)    funkcja / posiada maksimum lokalne w x₀, gdy 3 V f(x)śf(x₀);

S>0 xeAn(xę-S,x₀*S)

(2) fiuikcja / ina ścisłe maksimum lokalne w *₀, gdy 3    V    f(x)<f(x₀)\

5 >0    - S, ♦ S >. }

(3)    funkcja / posiada minimum lokalne w .r₀, gdy 3 V /(.r)^/(.r₀);

S >0    *3)

(4) funkcja / ma ścisłe maksimum lokalne w .t₀ , gdy 3    V    f(x) > /(.x₀).

6 >0 .tejinfo    S }

Twierdzenie. Zał. że /:[«,&]-» R jest różniczkowalna na («,£). Wtedy, jeżeli / przyjmuje ekstremum lokalne w .r₀ e («,£), to /'(.x₀)= 0.

Twierdzenie Rolle’a. Zal. że /: [«,£] -> R jest ciągła i różniczkowalna na (a,b) oraz f(a)= f(b).

^Wtedy /W=0.

*MaM)

Twierdzenie Lagrange’a. Zal. że /: [a,b] -> R jest ciągła i różniczkowalna na (o_yb). Wtedy 3 f(Ąb-a)=f(b)-f(a).

ce{a.b)

Twierdzenie Cauchy’ego. Zal. że f,g: [a,b\-> R są ciągle i różniczkowalne na (a,b). Wtedy

C€\aj>)

Twierdzenie. Zal. że /: [a,b] -> R jest ciągła i różniczkowana na (a,b). Wtedy:

(1)    / jest niemalejąca na («,£)<=> V /'(c)^0;

cc(ai)

(2)    / jest rosnąca na (<j,ó),gdy V /'(c)>0;

(3)    / jest nierosnąca na («,£)<=> V f'(c)<. 0;

ce(ab)

(4)    / jest malejąca na (a_yb), gdy V f(c) < 0.

Twierdzenie. Jeżeli /:(«,£>)-> R jest różniczkowalna, to /' ma własność Darobux, tzn. V V 3 /'(*)= v.

*1 .łje(fli>).v€ (/•(*,    »xe(x, jij)

Reguła d’Hospitala. Zal że -co ^ a < b <, +co, /,g: (a,b) -> R są różniczkowalne na (a,b) oraz

symbol

V g'(.^v)* 0 Jeżeli lim f(x) =

xe(ajb)    I-W

= lim g (.r) oraz lim ^    = A e R, to lim = A

Twierdzenie. Zał. że (/, )_H jest ciągiem funkcji różniczkowalnycli, f„: [«,£] -> R, /: [<*,£] -> R oraz /„-»/. Jeżeli V f_n jest funkcją ciągłą oraz (/' )„ jest jednostajnie zbieżny do g: [fl,ó] -> R,

to / jest różniczkowalna oraz V /^f(-t)=g(.x) (lim/.) =lim/.'

«{«».<>]    I \ »    /    n-**>

2