60875

/(*o.y) - f(*o.yo) y-y>

<>y x-r»

Wtedy funkcja f ma maksimum lokalne jczc* jp(Po) < 0 albo mmenum lokalne jczdi j^(P₀) > 0 w pkt Pc. JeZeli W(x₀.y₀) < Oto funkcja nie ma ekstremum lokalnego w pkt P₀

Pochodne cząstkowe

Niech 1 będzie funkcją okręconą w;b f c R².

F(*.y₀)eF.

K(Fo.r)-((x.y):pF-P₀||<r)eF

g</v):. p.rc-nt.rt-n*.*)

m    k-o    h

*1    /(*.* + >o) - /(*©.y₀)

^^(Po)- *^u™-*-

lim

Pochodne cząstkowe 2 rzędu

* “ /(*. y) ’ funkcja mająca poch. cząstk. '■£ i jj- w obszarze D C R-’ **"5j(*.y) *.yt o

z_y-^C».y)x.yCO

*t‘ “ ii \jt) iii, ⁼ ii Ki,) i,‘ i,\i,t    i)rii    i, \iij

4* f    f

Tw. Jeże* pochodne cząstkowe mieszane -rr-1 —r-

ća§j &r**

tstrv. W pewnyn) obszarze D i s* c^gte w punkcie

_Peo._ło;^.(P₎.^.(P)

Pochodne cząstkowe wytszych rzędów

² ■ f(*-y)

J^L-f

il’i,' ¹

z - /X*,,_.x.)

A»i«ra»-łp.

W^/ft-^^e,0,uH

Pochodne cząstkowe funkcji złożonej

(W)OO-*(/(*))

f:A-f{A)cY.g:B~Z B~>f{A)

Niech funkcje u -#(*•?) * * ^a ą>(z.y) będą określone w zbiorze Dc R²1 niech zbiór wartości funkcji ifc v zawiera się w zbiorze d w którym określona jest funkcja z*f(u.v) Wtedy wzór 1) określa funkcję złozoną zmiennych (x.y) w obszarze D

1) x-/M*.y).0(*.y))

Tw. Jciełi funkcje <jK*. y). 4>{x. y) mają pochodne cząstkowe w pkt p(Xo.to). *o.y_a C D i funkcja f(u,v) ma pochodne cząstkowe w otoczeniu pkt (lio. >b)

“o - t»(r₀.y₀) ‘o - *(***)) to funkcja zlazona

1)    ma pochodne cząstkowe

— i — w pkt p wyrażone wzorami:

2) iLmtL.iz + tL.tŁ

il i. ii żr i,

ćy du dy * dv óy

Pochodna funkcji <Kł) " /(x₀ * ht.y₀ * kt)

Niech funkcja z=f(x.y) będzie określona w obsz. DcR²

NiechA»₀(zo.y₀) CD

“ /(*o *hf.y, + <ff) h.k-stak?

*‘(0-£«*+£(*)*

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji n-imiennych

Jeże* funkcja jest określona w obszarze D C R² ma punkt P_Q C D ekstremum lokalne i

¹⁰

Dowód:

N.ochą>(x)-/(x.y₀)

37(x».y₀)-*’(*•> /(zr.y)-/(z*.yo) dla (x,y) C k (P_a.o)->

*(*) - AU.y) S /(x«.y*) stąd wynika y»'(x₀) - 0

Warunek wystarczający na istnienie ekstremum funkcji

Niech / e C*(D), D obszar w R\ P₀(*o.>'o) € D

Ił £(*)--«>)-o

2) W(x_a.y₀) - $(P₀) *^7(Po) - ££(Po)l^ł

Równania różniczkowe

Równanie postaci:

(M ~ “ f(*.y(r) lub krócej £ - f(x. y) gdzie f jest funkcją określoną i ciągłą w pewnym obszarze DcR² nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym r/ędu^jorwuogg Ogólniej równa nem różniczkowym nazywamy F(x.y,/)*0, gdzieś jest ciągfa w pewnym obszarze D c R² Rozwiązaniem lub całką równania (1) nazywamy każdą funkcję y - <p(x) taką ze «>'(•<■) ■

/(z. sp(z))w pewnym przedziale (a.b) (lub

F(*.«K*X* (*)) - 0 dlaz t (a.b)

(2) Równanie postaci ś(x.yV,....y>Ogdzie Ś jest fuikcją ciątfą w pewnym obszarze DcR"¹ nazywamy royjnąnigm rgj, Zw«i. forty fi

Równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych

^-^czylgłyjdy.fW*

Gdzie f i g są funkcjami ciągłymi w odpowiednich przedziaUch i g(y) * 0

c(y) - f <z(y)rfy

Równania różniczkowe leiiowe

Jest to równanie postaci:

(1) y'*f(x)*v*g|x) gdżie f i g to funkcje ciągłe w pewnym przedżiale (a.b)

/’ «W-f(*rv Ponieważ j^(p(x) - /(x)y - -/(*). Równane (1) ma zawsze rozwiązane przechodzące przez punkt (z©.y₀) dla którego /(x₀) w 0 W przypadku gdy g(«K> równanie (1) ma postaC:

(2)    y'«f(x)y=0 i nazywa się równaniem różnezkowym linowym jednorodnym rzędu I

Równania liniowe o stałych współczynnikach

Równanie jednorodne

(l)y* + a.y*-** + •••+o_n.,y' + a_ny - 0 a, £ R - stała

Dla równania (1) istnieje n równań liniowych niezależnych y l_.,yn y-C,y, +C_ny.-cafca ogólna C,-stałe

Funkcje yl„...yn- knowo niezależne C,y,(z) 4 ■••łC.y„(z) - 0 ->

C, - -rt - C. - 0

Równania róznlakowc cząstkowe rzędu II

Są to równania postaci:

<1> F(jt,.....z., u. u,,.....u.,,,.....u.„^)-0

F - funkcja ciągti wz^ędem zmiennych

X - (X|._,X.).U_>(M_lt,_,lł_B)

“o - (u.l.l.-.Unr.)

<n F(x^j.u.u„K)

M353-⁺ E-t^b‘(*) z;+cw« +

d(x) - 0

a,k.b,.e.d - funkcje ciągle o obszarze D C R"

2)    równane liniowe rzędu II (przy zał. Że 3j.k:a,k(x) * 0

3)    £■>-,<**    *(*.*«,)-0

3) równanie ęuasilniowc * rzędu a,k.g- funkcje ciągle

Forma kwadratowa

1)

h»(hl_.hn) zał: ajk>akj

Forma F(h) jesk określona

a)    Dodatnio jeże* F(h)>0 dla hy 0

b)    Ujemnie jeże* F(h)<0dla h* 0

c)    Pólokreilona dodatnio jeżeli F(h) a 0 f 3 K * 0 : F00 - O

d)    Pólokreilona ujemnie jeżeli F(Ji) <

O i l h < 0 : F(K) " 0

e)    Nieokreślona jeżek istnieje h' I h" tak« że F(h')>01 F(h")<0

Pochodna kierunkowa

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otouenki punktu P₀(xo. )b). ł:x “ *© + «t.y “ *+/*

I pólprostt (20 A a² + /?* - 1

nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w kierunku pólprostej L g(t) = f(x₀ ą at.y₀ ą j?r)

Wzór Taylora da funkcji dwóch zmiennych

Niech / C C*(D). D obszar w R²

Niech /4(xb.y₀). *(ab ♦ b.y₀ + Jr) t D taki że

odanck łączący leży w D. Wtedy na odanku AB leży

punkt C. C(zr₀ + Ob.yo ♦ Ok)0 < 6< 1. tak ze

/(żb ♦ h.yo + *)-

/(*o.yo) + ^+^+- + Jf-jf + «n

Gdzie d^rf - (j^- • h.jj- • It)" v - 1.2. _..n <ł'/są liniowe w pkt A dU v»Ł2,...,n-l Jf_B    -^r*niowa jest w pkt C

Równanie różniczkowe zupełne

Równane postaci: £ . _ lilii p.Q - _c tągle w

X* OŚzjO

(•JbMCid)

1) P(*.vldx ♦ Q(x.v)dy • 0 Nazywamy rówwiem zupełnym jeżeli istnieje funkcja ś(x,y) taka że: df * PdxrOdy czyli

2)    —•PI Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną uldadu (P.Q)

Tw: Je lek furfceje P iQ mają pochodne cząstkow« Py i O ciągfe w obszarze jednospójnym 0 to istnieje fuikc ja F pierwotna układu funkcji P i Q <• >

e « .

— - — w 0

«</ -h

. dr ₌ d’f    ąo _ d‘r

d, i,ii    dl ~ dni,

Tw: Je tek lewa strona równania 1) jest roznezką zupełną funkcji F w obszarze jednospójnym D to równane

4)F|x.y)«c przedstawia zbiór wszystkich krzywych całkowych równana 1)