0103

104

II. Funkcje jednej zmiennej

Dwa wyrażenia skrajne można przekształcić do postaci: / 1 \»^k+1

przy czym, na mocy (12),

a jednocześnie

1 V"

1-1--j ->_e oraz

«*/

/ 1 \"*⁺¹

(¹+n^rj

1 1 1+—>1,    1+—--1

n_k    Mjt+1

Tak więc oba rozważane wyrażenia mają wspólną granicę e, a więc ciąg pomiędzy nimi zawarty również dąży do e (na mocy twierdzenia 3°, [28]) i

lim

=e.

W ten sposób zakończyliśmy dowód związku (11) w języku ciągów.

Dla dowodu (1 la) załóżmy teraz, że ciąg x_k ma jako granicę — oo (przy czym można przyjąć, że wszystkie x_k< — 1). Jeżeli przyjąć x_k— —y_k, to    + oo (i wszystkie y*>l).

Oczywiście

Ponieważ w myśl poprzednich uwag pierwszy czynnik ostatniego wyrażenia ma granicę e, a drugi ma granicę 1, więc wyrażenie po lewej stronie również dąży do e. Wzór (11 a) został udowodniony.

Zastąpmy teraz w wyrażeniu (1 + l/x)^x zmienną x przez 1/a; jeżeli przyjąć za a„ ciąg dodatnich lub ujemnych wartości, dążący do 0, to x_n=l/a_n dąży do ±oo. Dlatego wzory (11) oraz (lla) można napisać w postaci

(13)    e= lim (l+a)^1/a.

a-+0

Ten godny uwagi rezultat służy za podstawę wszystkich zastosowań liczby e.

9) Interesujący jest również przypadek, gdy granica funkcji nie istnieje; funkcja sin x, gdy x~* + oo (—oo), nie ma w ogóle granicy.

O nieistnieniu granicy najłatwiej jest się przekonać na podstawie definicji w języku ciągów. Wystarcza zauważyć, że dwu ciągom

{(2n—|)n) oraz {(2n+i)tr) (n=l, 2, 3, ...)

argumentów o granicy +co odpowiadają ciągi wartości funkcji dążące do różnych granic:

sin(2n—ł)tt= —1-» — 1,    sin(2n+i)«=l-*’l •