Matematyka 2 3

152 III. Rachunek calkn*yfunkcji wielu z/n/cnnych 153 2. Mas nosa i obliczanie całki [todu-yjnej

152 III. Rachunek calkn*yfunkcji wielu z/n/cnnych 153 2. Mas nosa i obliczanie całki [todu-yjnej

_v 3 2,1 o

*>2^C "T^c

b)    Jjxdxdy. jeśli D = {(x,y)eR^:. x^:-x<y<V2x}.

D

c)    ff—-—jdxdy. jeśli D jest obszarem ograniczonym krzywymi y=ln|x|, y«0, y=l,

j) ff—^d._^d>—_t jeśli D jest trójkątem o wierzchołkach (-1,0),

^JD^J)T+4y+5

(1,-2), (3,0),    J

c) Jj(x+2y)dxdy. jeśli D jest obszarem ograniczonym krzywymi

y=M. y-f. y-f.

o Jj2xdxdy. jeśli D={(x,y)eR²:x^:-x<2y<2-2x a y<l).

D

g)    ||c^>dxdy, jeśli O jest czworokątem, którego kolejnymi wierz-D

chołkami są punkty (-4.0), (2,0). (0.2). (2.6).

h)    JJydxdy, jeśli D jest czworokątem, którego kolejnymi wierz-D

chołkami są punkty (-2.0). (0,1), (1,0). (4,6),

i)    JJxdxdy,jeśli D={(x,y)€R^;:0<yW9-x^: Ay>x-x^:)

D

Odpowiedzi

2. Tak 3. a)52/3. b)l/3. c)0. d)1/HX. 4. a) 14/3. b) 1(^81, c)2c-4. d)(3-c)/2

5.    a) 1/6, b) 27/4, c) 16/5. d) 8. e)l/6, 02(l-cosl), g)27/2. h)lnl6-l, i) 15/2—Iln4. j) 1/4, k)2/3. !)8>/J-40/3. l)3-e.

6.    a)*/2. b) 45/2, c)Ue'². d)4/27, c) 2. 0 (I-3c"²)/8, g)lnl6-7/6. h)ln(9/4)- 1/2, i)4. j)4/5 , k)ln4. l)3(l-ln>/2)

7.    a)2n-4, b)28/15. c)ln!5-ln(l6-e^:), d)ln5, c)32/3. 00.

-8, h)35/2; wsk. Jjydxdy= j]ydxdy- Jjydxdy. gdzie

d d, n,

D₂ -U*>yk0syS6Ay-2<x£l + y/2j. D, = |(x.y):0<y<Ia2v- 2<x<l-y|

i) -1/12 ; wsk. jjxdxdy= jjxdxdy- Jjxdxdy. gdzie D    U,    i),

D₂ - {<x,y>: - 3<*S3 a 0Sy< V9-x^: |. P, = {(x.y): 0<x<l a 0iy*ix-x²}

3. ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE PODWÓJNEJ.

PRZEKSZTAŁCENIE OBSZARU. Przypomnijmy: przekształceniem (odwzorowaniem) zbioru Z na zbiór Z* nazywamy przyporządkowanie każdemu elementow i zbioru Z dokładnie jednego elementu zbioru Z', przy ezym każdy element zbioru Z' jest obrazem co najmniej jednego elementu zbioru Z. Jeżeli natomiast każdy element zbioru Z' jest obrazem dokładnie jednego elementu zbioru Z mówimy, że to przekształcenie (odwzorowanie) jest wzajemnie jednoznaczne.

W dalszym ciągu będziemy rozważać przekształcenia obszaru płaskiego A=|(u,v)|cR^: w obszar plaskiD = |(x,y)}c R^:. Przekształcenia takie można opisać równaniami postaci (3.1)    x = x(u.v).    y=y(u,v), (u.v)«=A.

PRZYKŁAD 3.1. Weźmy pod uwagę prostokąt A={(u,v)eR²: 0<u<l a -2<v<I)

i przekształcenie

(l)    x = u+2v, y= u—v.

Znajdziemy obraz prostokąta A w przekształceniu (1).

Z równań (I) otrzymujemy , że

u=|(x+2y),    v = y(x-y)\