Matematyka 2 9

188 III łiucfuniA caiKn.y ejunkiji u ni u zmiennych

A,__łA_I=[Ax,,Ay, | i jest równy w przybliżeniu pracy zmiennej siły F(x.y) na luku skierowanym A ,A_;. Zatem suma

B

£lP(Xi.y. )Ax,+Q(x .y, )Ay,]

jesi wartością przy bliżoną pracy zmiennej siły f P( x.y ).Q(x.y)] na drodze krzywoliniowej K.

Naturalnym jest więc przyjąć następującą definicję pracy zmiennej siły F(x,y)-[P(x.y ),Q(x.y)j na luku gładkim skierowanym K:

n

VV= lim Y[P(x,.y, l\x₍+Qłx₍.y, )A\,J.

ł=l

Ponieważ Funkcje P. Q są ciągłe na łuku K. w ięc granica ta istnieje i jest równa całce krzy woliniowej skierowanej Zatem:

Całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji P. Q ciągłych na gładkim łuku skierowanym K jcsl równa pracy zmiennej siły F<\.y) = lP(x.y).Q(x.y)J na luku K:

(7.3)    Jp( x.y )dx ^ Q( x.y Hly = W.

K

Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej

NA OZNACZONĄ. Obliczanie całki krzywoliniowej skierowanej po łuku gładkim z funkcji ciągłych sprowadził sie do obliczenia odpowiedniej całki oznaczonej, co wynika z następującego twierdzenia.

I W ItKDZENIF 7.2. Jeżeli funkcje P. Q są ciągłe na luku gładkim

(7-4)    K x = x(t), y=y(t). te<u,p>.

skierowanym zgodnie z jego parametry zacją, to

P

(7.5) J P( x,y )dx 4 Q( x.y)dy « J[P( x(t ),y( t))x'( t) + Q( x( t).y(t ))y'(t )|dt.

K    a

Uwaga: Jeżeli luk K jest określony równaniami (7.4), ale jego początkiem jest punki (x([3). v({3)), a końcem punkt (x(u).y(u)), to

17.01

u

Jl*(x.y klx-f-Q(x.y kly = J[P< x(l),y(i ))x'(t 11 Qlxi t).y(i)>)'(t ł]di

K

7 twierdzenia 7 2 wynika, że:

1)    Jeśli luk skierowany K jesi określony równaniem

y=y(x). x fc<a.b>.

gd/ic y(x) jest funkcją klasy C¹ na przedziale <a.b>. io wzór (7.5) przy jmuje postać

b

(7.7) J P( x. y >dx + Q( x, y )dy = J|P(x_ły(x))+Q(x_ty(x))y'(x)!dx.

K    a

2)    Jeśli luk skierowany k jest odcinkiem prostopadłym do osi Oy

K; y = c. xe<a.b>.

to

to

3) Jeśli luk skierowany K jest odcinkiem prostopadłym do osi 0x

K: x = a, ye<c.d>.

K

c

PRZYKŁAD 7.1. Obliczymy następujące całki krzywoli

niowe:

a) |xdx+xydy. jeśli K: x = 2cost, y = 2sint, le<(J.;i>,

K

b) j^y-xdx + xdy. jeśli k jest odcinkiem o początku w punkcie K

(2.3) i końcu w punkcie (0.9), r    6\    I

e) (2---)dx -!— lnxdv. jeśli k oznacza luk paraboli

J    v f I    x

K