Matematyka 2 !1

210 111. Rachunek Lalkowy funkcji nięlu rrniennych

Analogiczne twierdzeniu są prawdziwe, gdy obszar całkowaniu V jesi normalny względem innej płaszczyzny układu współrzędnych.

PRZYKŁAD 8.1. Obliczymy całkę fjJ(x-2z)dxdydz.

v

jeśli V = {(x,y,z)eR ‘: 0<z<4x a (x.y)eD|. przy czym D oznacza trójkąt ograniczony prostymi y=x y = 2-x, y = 0. (rys 8.3).

-u

JJJ(x-2z)dxdydz = fj| J(x-2z)dzldxdy= JJ(xz-z² i|* dxdy=

o o

D={(x.y): Ośyst a ><x<2-y)

=-12 JJx²dxdy =

I 2-y

= -12J[ jx^:dx]dy=-l4. ■

0 y

PRZYKŁAD 8.2. Obliczymy całkę Jjj3zdxdydz .jeśli

v

V = |(x,y,z)eR^J: -l<x<^y²+z² a (y,z)eD|,

przy czym D=|(y.z)eR²: y²+z²<16 a y>0 a z>0) .(rys 8.4).

Obszar całkowania V jest normalny względem płaszczyzny Oyz. Skorzystamy z twierdzenia analogicznego do twierdzenia 8.3. Zatem

Jy²**²

JJ|3zdxdydz= JJ[ j*3zdx jdydz = 3 JJz( yjy¹ +z^: +1 )dydz= v    d -i    n

8 Całka potrójna

211

ir^r^;oV*_sW⁼³n^r,in^^r+l,rd^⁼

A

4 xfl    4

= 3j"[ J(r -ł-r²)sinq>d<p]dr=3 J(r³+r² )dr = 256.

o o

PRZYKŁAD 8.3. Obliczymy masą m bryły określonej nierównościami: x² + y²+z²£l, x>0, y>0.jeśli gęstość w dowolnym punkcie (x,y.z)jcst równa p(x.y.z) = x^:^y².

Zgodnie z (8.1) mamy

m = JJJ( x‘ + y² )dxdydz.

v

gdzie

V={(x,y,z)€R^J- -^l-x²-y^: <z£^l-x²-y² a (x_ty)eD}_f przy czym D = |(x,y)eR^:: x²+y² <1 a x>0 a y > 0) (rys. 8.5). Zatem

m = JJ[    J(x² + y^:)dz]dxdy= JJ2( x² + y² yj\ - x^: - v^: dxdy

^D

o

■te;    -