str026 (5)

26 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

2.    Na jaką linię w płaszczyźnie (u, v) przekształca funkcja w = 1/z linię C, leżącą w płaszczyźnie (x, y) (z = x+iy, w = u+iv), o równaniu

a) x²+y² = 1, b) y = 0, c) x = 1, d) (x-\)²+y² = 1?

3.    Określić, jaką krzywą przedstawia równanie:

a) Im z² — a,    b) Re— = a, c)

z

Z —I

z — 1

= a.

Odpowiedzi

1. a) Pole: cała płaszczyzna liczbowa

u = x*—6x²y²+y*, v = 4x³y—4xy³, b) pole: cała płaszczyzna liczbowa bez punktu z_t ^ 1,

u =

x²+y -1

v =

—2y

(x—l)² + y² ’    " (x-l)²+y²’

c) pole: płaszczyzna liczbowa bez punktów z₂ # 1, z₂ — 1,

u =

1 — x² + y²

-2xy

l+x⁴+/+2y²-2x²+2xV’    1 +x⁴+/+2y²-2x² + 2x²j/²‘

2.    a) u² + t>² = 1, b) v = 0, c) (w—ł)² + v² — d) u =

3.    a) Dla a #0 mamy xy = -Ja, a więc równanie hiperboli równobocznej, dla a = 0 równania osi układu współrzędnych,

( 1 \²    , 1

b)    dla a # 0 równanie okręgu ( x--) + y² = —r, dla a — 0 równanie osi Oy,

\    2x/    4x

c)    okrąg o promieniu r = i, i środku s(

11 — x²

Y— -i-')

\l_a²’

gdy a # 1. Gdy

a = 1, mamy prostą y = x.

§ 4. Szeregi potęgowe o wyrazach zespolonych. Wzory Eulera Logarytni naturalny

j    _m *

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z₀ nazywamy szereg następującej postaci:

00

(4.1)    a₀ + a_l{z-z₀) + a₁(z-z₀)² + ... + a_n(z-z₀)ⁿ + ... = £ a_n(z-z₀)\

n = 0

gdzie z — zmienna zespolona, z₀ oraz a_n dane liczby zespolone.

Dla z₀ = 0 szereg potęgowy ma postać

(4.2)

a₀ + a₁z + a₂z² + ... + a„zⁿ+... = £ a_nz”.

n = 0