0317

§ 7. Rozwinięcia funkcji elementarnych

319

Jest

r„(x) = (-!)" x"⁺¹

(i-g)"

(l+0x)"⁺¹

(0 < 6 < 1),

zatem

|x|"⁺¹

1-1*1

n

W*)| <

Ponieważ dla x > — 1 jest 1 + 8x > 1 — 0, więc ostatni czynnik jest mniejszy od jedności; jeśli więc tylko |x| < 1, to na pewno r„(x) -> 0.

Ciekawe, że chociaż postać Cauchy’ego reszty całkowicie rozstrzyga sprawę dla wszystkich wartości x leżących między — 1 a 1, nie daje ona nic dla x = 1. W tym przypadku dostajemy

|r„(l)| <(1-0)",

ale wobec tego, że 0 może się zmieniać wraz z n, nie można stąd wywnioskować, że

(I-&)” -+ 0.

Tak więc — łącznie — dla wszystkich x z przedziału (—1,1) jest rzeczywiście słuszna równość

(17)    In(l+x) = x    -(- ~— ... +(-!)»-* ^ + ...

W szczególności dla x = 1 otrzymujemy znany nam już szereg

(18)    in 2 = 1- i- +i-- - +(-l)"-¹4"+ -

Z i    n

Z szeregu (17) można wyprowadzić także inne pożyteczne rozwinięcia. Na przykład, zastępując w nim x przez —x i odejmując otrzymany szereg wyraz za wyrazem od szeregu (17) (zakładamy przy tym, że |*| < 1), otrzymujemy następujący szereg:

, l+x _    1 ,    1 .    1

(W    ^lnT=T "²' ^{1 +} 7* ⁺ T*⁺    + 2^+r* ⁺ •••

406. Wzór Stirlinga. Jako zastosowanie pokażemy, jak za pomocą wzoru niożna wyprowadzić pewien wzór zwany wzorem Stirlinga.

Weźmy w (19) x

1

2/i+l

, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną. Wówczas

//+1

l-x

1-

2/i+l

otrzymujemy zatem rozwinięcie

n+l    2

(20)

In ■

2/i+l

K

_i_+ .L.

(2//+1 )^J 5    (2/1+1)'

+IF ⁺ '] ’

1

+ x    ¹⁺ 2n+l