0319

321

§ 7. Rozwinięcia funkcji elementarnych

Wyrażenie w nawiasach przekształcimy w sposób następujący:

(2it)!!    _ [(2/»)!!]^ł _ 2^ł*(w!)»

(2/i—1)!!    (2n)t    (2»»)! '

Podstawiając tutąj za n! wyrażenie z wzoru (21), a za (2/i)! podobne wyrażenie:

(2/i)! = o |/iT    (0 < 0' < 1),

otrzymamy po elementarnych uproszczeniach

— a~t / — ■

(2/1—1)!! ^ 2

a więc

— = lim —^l— a¹ • -5- •    = "1.

2 „-oo 2/t+l    2    4

a¹ = 2tt i a = ^2ir .

Podstawiając tę wartość a do wzoru (21), otrzymujemy ostatecznie wzór Stirlinga

ni = ^2im    (0 < 0 < 1) ,

który pozwala oszacować wielkość silni n! dla dużych wartości n.

Jako ćwiczenie proponujemy czytelnikowi obliczyć faktycznie sumę szeregu

2n+i

2i»—1

którego zbieżność udowodniliśmy w ustępie 367, 9) (b).

Wskazówka. Obliczyć zi-tą sumę częściową, przekształcić ją za pomocą wzoru Stirlinga i przejść do granicy.

Odpowiedź :-i-(l — ln 2).

407. Szereg dwumienny. Weźmy wreszcie funkcję /(x) = (1+*)'", gdzie m jest liczbą rzeczywistą różną od 0 i od wszystkich liczb naturalnych (dla naturalnego m dostajemy znane skończone rozwinięcie według wzoru Newtona). W tym przypadku szereg Taylora ma postać [125,4)]

l+mx+

m(m — 1)

n~

x² +

m(m — 1)... (m — n + 1) 1 -2- ... n

x"+

Szereg ten nazywa się szeregiem dwumiemym, a jego współczynniki — współczynnikami dwumiennymi. Przy założeniach przyjętych dla m żaden z tych współczynników nie będzie zerem (przeciwnie, gdyby m było liczbą naturalną, to współczynnik przy x^m+1 i wszystkie następne byłyby równe zeru). Za pomocą kryterium d’Alemberta [377] łatwo stwierdzić, że dla |x| < 1 szereg ten jest bezwzględnie zbieżny, a dla |x| > 1 jest rozbieżny. Badanie reszty r„(x) we wzorze Taylora przeprowadzimy przy założeniu, że |x| < 1, przy czym weźmiemy resztę od razu w postaci Cauchy’ego (9) (postać Lagrange’a nie daje tu odpowiedzi dla żadnej wartości x).

21 Rachunek różniczkowy