matma6

Szeregi Maclauiina niektórych funkcji elementarnych

e^x=Y-, xeR

£A n\

» f 1r\

(i

«=O \P J

«“(i+*)=:l££

«+i

sin x = ^ x", |x| < 1, k e R x"⁺¹ , -1<x<1

HL

ŚS(2» + l)

1

^c {.

lY 2*

. _ Z___-V    V*

x²*⁺¹ , xeR cosx - V V    , x e /?

«=0 (2^/

1 - X

= £x-, |x| <1

1 + X n=0

.2«+l

.2»

^shx = lL77Z , ,v *^eJ? chx = Hj^j’^x&R

n=0

^ ^ x^2w+1, -1 < X < 1	00 arcsin x = V ,	X“ 1 |
2n + \		2n + l)\\\2n + 3)

arcctgx = -- arctgx

arccosx = ;r - arcsin x

Zadanie: Obliczyć z żądaną dokładnością wartość całki

d 1

a) /    0,001

b)

/o \/l + A 1

/■3    1

/o vT

dx;    0,01

•y u v x — o.

Rozwiązanie. Funkcję podcałkową rozwijamy w szereg potęgowy i następnie całkujemy wyraz po wyrazie w zadanym przedziale.

Korzystamy z szeregu dwumiennego:

.    ..    ^ fa\ „    q q(q -1)9    a(a — 1)(q    — 2) ₃

(1 +    t)^a = ^ ( J tⁿ =    ! + Yji + ^V ₂, t² +    ^--i³ +    •••, -1 < t < 1.

Ad a)

Podstawiamy t — a:³, a = —

Wtedy

¹    _ | , ^— 5 3 ,    , ~l(~l ~ ¹)(^-I ^{- 2})

-₇==_l + __3;+    2!    ³¹ +    3!

vr+

dx =

1 - ^a:³ +    i----) dx =

^ „.7

1 /1\⁴    3 /I

10

3/    56 \3

160 V 3

^1_1 (l

⁺    ~ 3    8 V 3

Szereg po praw^rej stronie jest naprzemienny, więc błąd 6 = |S — S_n| < |a_n+i| = ^ (|)' < 0,001.

Ad b)

Teraz t — —x³

f    vT^^{dx =} Jj(^{, +} f³ + !^l6 + i^{lS +} -)^{il =} d(5) ⁺IG)⁺

1

160 V 3

10

+

Szereg po prawej stronie jest już szeregiem o wyrazach dodatnich. Aby obliczyć błąd bezwzględny S jaki popełnimy zastępując sumę S jego n-tą sumą częściową S_n musimy uwzględnić wszystkie opuszczone wyrazy:

S —    — (in-4-1 T ®n+2 T ....

Zauważymy, że

1 (	1 \ ^4 ( 3 3/ ^+ 56
8 {
Stąd
f*	1
Jo	y/l — X^3

10

1 /I

1 (\

C ( Q ) "b ( Q ) "b    (3) "b * ’ ’ ^ O i Q ) "bola) ^o

2 V 3

2 V 3

1 fl

2 V 3

¹⁰    i/i\4    1

+ • ■ ■ = -da. = — < o, 01

1_(1)3    156