218(1)

2) A. Korzystając z rozwiązania zad. 303, otrzymujemy następują szereg Maclaurina dla danej funkcji logarytmicznej

B. Zbadajmy zbieżność otrzymanego szeregu na podstawie kryteriy d’Alemberta. Mamy

-M = M

Jak widać q < 1, gdy —1 < x < 1. Podstawiając x = — 1 (lewa granic znalezionego przedziału) otrzymujemy szereg liczbowy — 1—i—4—i-

£ J T^-

różniący się tylko znakiem od odpowiedniego rozbieżnego szeregu harmonicznego.

Podstawiając natomiast x = 1 otrzymamy szereg przemienny 1— — y + *3—• ••> zbieżny na mocy kryterium Leibniza.

Otrzymany szereg Maclaurina dla rozpatrywanej funkcji logarytmicznej jest więc zbieżny w półotwartym przedziale (—1, 1], Można dowieść, że w przedziale tym jest on rzeczywiście zbieżny do danej funkcji ln(l +.v)].

1013. Rozwinąć w szereg Taylora funkcje: 1) dla a = —2,    2) cos.v

dla a =

4

Rozwiązanie: 1) A. Obliczamy wartości funkcji i jej pochodnych dla x = a = —2. Mamy:

f(x) = X"¹

/(-2) =

2

1_!

Y

/'(*) = -1

f"(x) =1-2

Po podstawieniu tych wartości do szeregu Taylora (T) dla dowolnej funkcji, otrzymamy

x

1    l!(x+2)    2'.(x+2Y    3!(.v+2)⁵

T 2¹ ■ 1    ~~2? ■ 2!    2<-3!

x+2    (x+2p    (x+2y

»■+ —+

n\jx+2Y

2«+i . n<

(*+2)"

2"

B. Zbieżność otrzymanego szeregu zbadamy wg kryterium d’Alemberta. Mamy

(.x+2)"⁺¹ Un+l    2"+l

i-v+2l

2

Wynika stąd, że o < l,gdy    < 1, czyli, po rozwiązaniu nierówności.

gdy — 4 < x < 0.

n-*+ co

Granice przedziału badamy osobno. W tym celu podstawiamy do szeregu najpierw x = —4, a potem x = 0. Otrzymujemy szeregi: 1 —1+1—1+ ... i 1 + 1+1 + 1+ ...; oba te szeregi są rozbieżne, bowiem nie jest dla nich spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu: lim a_n — 0.

W takim razie przedziałem zbieżności szeregu Taylora dla danej funkcji jest przedział (—4,0). Badając resztę R„ wzoru Taylora dla danej funkcji, można się przekonać, że we wskazanym przedziale otrzymany szereg rzeczywiście jest zbieżny do tej funkcji.

ut

2) A. Obliczamy wartości funkcji i ich pochodnych dla = a = Mamy:

y — cosx

439