061(1)

Błąd tej przybliżonej równości można wyznaczyć obliczając resztę R„ w'zoru Maclaurina. Dla funkcji e^x otrzymamy

Br

,.n >1

R = -- e'

Oczywiście wartość błędu R„ zależy zarówno od stopnia n wielomianu aproksymującego jak i od wartości zmiennej x. Na przykład, gdy n = 3 i x = 1

Rn 3 =

4!

„    1    3

^e9<4!^e<4!

1

8

ponieważ O<0 < lie<3; gdy n — 5 i x — 1

R

Jeżeli n rośnie nieograniczenie, to    jest wielkością nieskończenie

małą dla każdej wartości x, co zostało wykazane przy' rozwiązaniu zad. 42. Wielkość e^0x jest ograniczona, zatem gdy n-* + co, to dla każdej wartości x reszta w rozwinięciu funkcji e* maleje nieograniczenie dążąc do zera

lim R,_: =

n—>t *>

lim’",

(«+l)l

= 0 • lim e^0x = 0

Wynika z tego, że dla każdej wartości w- funkcję przestępną e^x można apro-ksymować za pomocą wielomianu Maclaurina z dowolną, żądaną dokładnością oraz że stopniowe podwyższenie stopnia aproksymującego wielomianu prowadzi do stopniowego zwiększania się dokładności aproksymacji.

Biorąc kolejno n = 1, 2, 3, otrzymamy coraz dokładniejsze przybliżone wzory

e^x z l+x

e*zl+x+Y

X²    X³

e^x Z 1 -f X+ -y + - g-

2) Obliczamy wartości funkcji sin* i jej pochodnych dla * = 0

/(O) = 0

/(*) — sin*

/'(*) = cos * = sin \x+ yj    /'(O) = 1

f"(x) = — sin x = sin |*+2 • -y j /"(O) = 0 /"'(*) = -COS* = sin/*4-y • Jil /"'(O) = -1

/⁽*^}(*) = sin j*+A: • yj    /^cM(°) = sin /cy

W tym przypadKU wszystkie pochodne rzędu parzystego są dla * = 0 równe zeru. Dlatego wielomian Maclaurina aproksymujący tę funkcję będzie zawierał tylko nieparzyste potęgi *

y? , *⁵    *⁷

(2m-l)i

(2)

(* jest tu miarą kąta w radianach).

Powyższa przybliżona równość wyraźnie uwidacznia nieparzystość funkcji sin*, tj., że sin(—*) = —sin*.

Błąd przybliżenia wyznaczamy z ogólnego wzoru na resztę R_n wzoru Maclaurina. Dla funkcji sin* błąd ten wynosi¹’

Korzystając z oczywistej nierówności j sin ot | < 1 pozbywamy się niewiadomej wielkości 6 i na oszacowanie błędu, powstającego przy zastąpieniu funkcji sin* wielomianem (2), otrzymujemy proste wyrażenie

Jak wykazaliśmy w zad. 42, wyrażenie —, dla każdej wartości * zmierza do zera, jeśli n -* + oo. A zatem, gdy m -*• + co, reszta R_lm we wzorze

>) Reszta R_2m odpowiada wielomianowi Maclaurina stopnia Im, ale dla funkcji sin* wielomian ten jest identyczny z wielomianem stopnia 2m~ 1.

125