70609 skanuj0007 (349)

)zdział 4■ Ciągi i szeregi

regu wynika, że jeśli ma-jest zbieżny wtedy i tylko

rostej obserwacji, że ciąg N

tedy, gdy ciąg 5] ^an j^est

7i=/c

dn)n=v ^ab.y »by^la szansa”

ci szeregu). Niech dany t zbieżny, to ciąg a_n jest

, jest zbieżny, to s;v —» s,

□

2waż -► t = !•

wnicznym, jest rozbieżny, eg ten byłby zbieżny, tzn.

sj\j "t N • 2]^ — &n +

X), otrzymamy 5 > 5 + 5,

:n jest zbieżny, gdy a > 1,

izany w przykładzie 4.40. idzie 8.33.

4.2. Szeregi liczbowe

69

Następne twierdzenie mówi o działaniach na szeregach. Jest ono prostą konsekwencją twierdzenia 4.14.

Twierdzenie 4.42. Niech będą dane ciągi (a_n)^_=l, (b_n)^L_l C M.

00    oc    00

(1) Jeśli szeregi Y ^an, Y ^bn są zbieżne, to szereg Y (^an + b_n) jest zbieżny

n=l    n=1    n= 1

oo    oc    oo

Oraz Y («n + &n) = E An + E ^bn-n=l    n=l    n=1

OC    oo

(2) Jeżeli szereg Y ^an jest zbieżny oraz cel, to szereg Y ^can jest zbieżny

71=1    71=1

OO    OC

oraz Y ^can = C E a_n-

71 = 1    71=1

Kolejne twierdzenie umożliwia rozstrzygnięcie zbieżności wielu szeregów, jeśli się je porówna z szeregami z przykładów 4.40 i 4.41.

Twierdzenie 4.43 (kryterium porównawcze zbieżności szeregów). Da-

ne są ciągi (on)^,, (b„ )^tj, a„,b„ 6 R.

(1)

Jeśli 0 ^ a_n ^ b_n, 00

Y ^an-

71=1

oo

a szereg Y ^bn jest zbieżny, to zbieżny jest także szereg

71 = 1

(2) Jeśli O < a_n ^ b_n,

oo

szereg Y ^bn-

71=1

OO

a szereg Y ^an jest rozbieżny, to rozbieżny jest także

71=1

Dowód. W przypadku własności (1) zauważmy, że skoro O ^ a_n b_n, to

N    N

o < S_N = a_n ^ b_n = t_N.

71=1    71=1

Ciąg ty jest rosnący, gdyż ^ 0. Ciąg jest zbieżny, na przykład do t € M. Stosując twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy (twierdzenie 4.20), otrzymujemy 0 ^ s^/ ^ t^ ^ t, zatem ciąg s./y jest ograniczony. Ponieważ a_n ^ 0 dla n E N, więc jest ciągiem rosnącym. Stąd - jak wynika z twier-

oo

dzenia 4.23 - ciąg s^ jest zbieżny, a zatem zbieżny jest także szereg Y ^an■

n— 1

oc

W przypadku dowodu własności (2) wystarczy zauważyć, że jeśli szereg Y ^bn

71=1