5466967418

23. Wykazać, że szereg n¹³qⁿ, gdzie q G R, jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy q G (—1,1).

24.    Zdefiniować pojęcia szeregu zbieżnego i szeregu zbieżnego bezwzględnie. Dla jakich a£l szereg

~ (~l)ⁿ

n^a

jest zbieżny, a dla jakich jest zbieżny bezwzględnie ?

25.    Wykazać, że szereg

sin^—^ cos(7rn)

jest zbieżny, ale nie jest zbieżny bezwzględnie.

26. Wykazać, że szereg

i

1

n(lnn)P

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1.

27. Udowodnić, że

1

' n(n +1)

28. Udowodnić, że szereg

a (ER,

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy a < 0.

29.    Sformułować warunek Cauchy’ego zbieżności szeregu. Dane są trzy szeregi liczb rzeczywistych JZnLi °n> XmLi ^ ¹ ZmLi °ni przy czym a_n < b_n < c_n dla wszystkich n G N. Wiadomo, że szeregi a_n i Cn są zbieżne. Wykazać, że szereg b_n też jest zbieżny.

30.    Dane są dwa szeregi zbieżne liczb rzeczywistych ^nLi ^a« — A, Cn — C, przy czym a_n < Cn dla wszystkich n G N. Niech B G (A, C); skonstruować taki szereg zbieżny &n> ^ze

< b_n < Cn dla wszystkich n G N i b_n — B.

31.    Rozwinąć funkcję f(x) = ln(l — x) w szereg potęgowy o środku w zerze. Wykazać, że otrzymany szereg jest zbieżny jednostajnie na przedziale (—1,0), ale nie jest zbieżny jednostajnie na przedziale (0,1).

32. Podać przykład funkcji różniczkowalnej /: R² —» R³, dla której /(R²) jest torusem.

33. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni M w punkcie p G M, jeśli

(a)    M = {(x,y,z) G R³: x² + 2y² + 3z² = 6}, p = (1,1,1) G M.

(b)    M ma parametryzację

f(u, v) = (u cos v, u sin v, v), u> 0, v G R,

zaś p = (2,0,27r) G M.

hm /    \/x sin x dx.

n—1-00 Jq

34. Obliczyć granicę

3