MATEMATYKA173

VI < iqgi i wtvgi funkcyjne

m

c)    +* y-- -rto*<2n-fl)x, \e<0,>r>,

2 \%(2n+\r

d) 2x«2-i|£ —i—x«(U>.

k^} „ o(2n+l)^{2    2}

5. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Ciągi funkcyjne Ciąg

f,(z), f₂(z), f,<z)....

gdzie f,(z), i = 1,2,3,... jest funkcją (rzeczywistą lub zespoloną) zmiennej zespolonej z nazywamy ciągiem funkcyjnym zmiennej zespolonej i oznaczamy również symbolem (f_n).

Definicje zbieżności punktowej i jednostajnej dla ciągów funkcyjnych zmiennej zespolonej są dokładnie takie, jak dla ciągów funkcyjnych zmiennej rzeczywistej. Wystarczy zmienną rzeczywistą x zastąpić zmienną zespoloną z.

PRZYKŁAD 5 1 Ciąg (zⁿ) jest ciągiem funkcyjnym zmiennej zespolonej z Zapiszmy w postaci trygonometrycznej:

z=|z!(co$<j> + isin<p), zⁿ =|zP (cos nip + i sin mp), ncN Ponieważ dla ciągu o wyrazach rzeczywisty ch |zf" mamy

fO dla |z|d, lim|zf=| 1 dla (z)=l,

[od dla |z|> 1.

Ciąg (cosmp ł i sin nq>) granicy nic ma dla <p * 0. ale jest ograniczony, bo

(cosnip + i sin n<p|= ^cos² nip t sin' n<p = 1

Zatem

lim*-/? ^d!^{a |2,<}''

|l dla z=l

Natomiast dla |zj> 11 z* 1 granica nie istnieje    ®

5. Ciągi i szeregi funkcyjne zmiennej zespolonej

337

SZEREGI FUNKCYJNE. Jeśli (f_n) jest ciągiem funkcyjnym zmiennej zespolonej, to wyrażenie

f,(z) + f,(z) + f,(z) + ...,czyli £f„(z)

A«)

nazywamy szeregiem funkcyjnym zmiennej zespolonej.

Definicje: sumy częściowej, sumy szeregu, szeregu zbieżnego, jednostajnie zbieżnego, bezwzględnie zbieżnego, warunkowo zbieżnego, szeregu potęgowego, promienia zbieżności są analogiczne jak dla szeregów funkcyjnych zmiennej rzeczywistej. Wystarczy w tych definicjach zmienną x zastąpić zmienną zespoloną z

Ta sama uwaga dotyczy również kryterium Weierstrassa jednostajnej i bezwzględnej zbieżności szeregów' funkcyjnych, jak również wzorów na promień zbieżności szeregów potęgowych.

Jeśli promieniem zbieżności jest r > 0, to szereg potęgowy £a_nzⁿ jest zbieżny wewnątrz okręgu |z{= r, rozbieżny na zewnątrz tego okręgu, a w punktach leżących na okręgu może być zbieżny lub rozbieżny (badamy ten przypadek oddzielnie).

PRZYKŁAD 5.2 Szeregi:

a) Y.Ćr¹)".    b)    . c) jjrY-Y

0»l    *    » 1

są szeregami geometrycznymi o ilorazie q i pierwszym wyrazie a,

odpowiednio równych: a) a=-^, q *    ^, b) a = I. q = ~~,

z z    z

c) a=-~, q=-^p, Każdy z tych szeregów funkcyjnych jest zbieżny

jedynie dla tych zeC, dla których |q|<l; suma tego szeregu jest równa _a l-q

a) Dla z * 0 mamy

lq|<l o |^|<1 o|z-l|<|z|o|x+iy-l|<lx+iy|o Z