DSC04656

»

Zadania

-127. Funkcjonał kwadratowy <P określony na przestrzeni wektorowej R’ nu » boa F= 111 |.-||,fj.d, 1.0)1 formę5.rf+6.r^+4rj+8jr,.T:+8i|.tj+!tt₁;i₁ Sprawdzić. czy baza kanoniczna praatrreni E^j jest bu/jj kanoniczna funkcjoufc 9.

421. Funturfooal kwadratowy iP na przestrzeni wektorowej R¹ ma w bazie kanonio*] przestrzeni R' dana formę Metody Lagrangea znaleźć bazę kanoniczna i odpł-wtednta formę kanoniczna tego funkcjonaiu: ai ♦<Izi.x:.xj1) = xf 4-2x; 42Ix| 4 2x|Xi +4.ti,tj - dtiłj: bi 9iixi.ij.xjli *j xf+ 5x; +39xj + 4x_txj - 8x_tx> - 8*jxj: ci9i(xi.xj. jj[) = xf 4 I0*| 4 I4ij 4 6*|Xj ~2x|*j; dl 9<{ł,. i,Ll = xj 4 5x| 4 7x| 4 4x,xj - 6x,x, - 2x;Xj;

e) 9Uxi.Xj.i*)ł = 6xf 4xf-lt|Xj - 4x,x> 4 4x2X_};

f) 9iU-. i;.x;|j = I5jaf 42*j^: 4- xj 4 4*1X2 42x,x, - 2x2Xj;

V 90ii4»ll ® *.*j - 3x,xj 4 5xjXj;

b» 9||ł,. i_:.4jJ> ss X|ij 4 2x,Xi44xjXj.

4W. Funkcjonał kwadratowy 9 na przestrzeni wektorowej R⁴ ma w bazie kanowemr przestrzeni R‘ dana lormę Metoda Lugrange a znaleźć bazę kanoniczna i «*• wsobna formę kanoruczna lego funkcjonału:

aixf 4 tr| 47*2 4    4 6xixj 4 8*i*» + 2*iXu 4 20xjxj +2*3X4 4 Sm*;

b) 1; 4 2xj 4 19x* J** 4 2x,xj - 4x ₍x, 4- 6x,*4 4 4*,*, 4 8xji₄ - «m». c>i- - łi^4.7*J-2r₁a₃i.2x,Xj4 4x,X4 -2x_Ix,~d*3X4 4lUvi4; di z»*ł 4 X|j| - Ja,*4 + 3x«x» - xjju - **>*4-*30. łtukti. ha/« kanwuc/na funkcjonału kwadratowego <P okretilnnego na prreurza** •cŁloruwe] pomrwytn wzorem oraz lormę funkcjonału 9 w otrzymanej tui* «»9tl*i.ij j|)| - x}4 Zt\ 4*{ 42xiXj43x,xi 44x>i>;

*2.X)|> = 2x; 4- 3x} + x} +}*,»; +Zt,X) + x,ł,.

= 3*|Xj + 4jT|4rj + iju.

jjj. MctoJfl Jacobicgo znałeś formę kanoniczna i hut kanonem (unbjnadu kwadratowego <t> określonego na przestrzeni wektorowej I* i \Xxtfo .*tow dKl*i- *2, A‘sl) jest równa ajaf+ 5t; + I Ijrj -ł-4j₍x_: +6»ia) +

b) xf + 5*1 + 15x; - 4x,x₃ - 8t|Xi 4- I6x_;rj;

c) .»f + 8rc - 8x| - 6.t|X* 4- 8x_txi - Ux₂i,. d»6.rf 4- Jtj 4-6-t|.»’ 4- IO.t|X» 4- 8x*Xj;

e) 3x{ 4- 8x? 4- xj + 10*1*2 -f 2i jXt + 4ftja>;

0 lxf 4- 2jt; 9x\ 4- 2*i*2 4-    + 8x>*|.

4J2. Metoda Jacobicgo. zastosowano do funkcjonału kwadratowego 9 daaepi w pcw-oej bozie B przestrzeni wektorowej V'. prowadzi do form) kanonicznej a_;\; -+«, X; i do bazy kanonicznej & = <v',, ,.r‘i. Zbadać, do jakiej tonuj Lano nicznej i jakiej bazy kanonicznej prowadzi u metoda raMuwwuo do funkrjonahi kwadratowego a<P. gdzie o € K \ |0)

U3, Obliczyć liczbę funkcjonałów kwadratowych tu «-wymiarowej prmtnm wektorowej V określonej nad t) -elementowym dałem K

Ol Znale# formę kanonicziui funkcjunułu kwadratowego d> okreflonejfo na przałne-ni K^u i mającego w pewnej Imię B przestrzeni A.'* fnrme £T«i E^., M/M gdzie ni ^eOprzy pewnym k € U-----ztj.

[ 7.4. Funkcjonały kwadratowe na rzeczywistej przestrzeni wektorowej

Siech n 6 N. Jeśli ‘P jest funkcjonałem kwadratowym rzędu «na n-wymurowej necn •mej przestrzeni wektorowej V. to istnieje baza B przestrzeni V. w Wrej fmtkjrtul

•    mi formę postaci ±.ej² ± x'_i² ± ... ± **.

T wiKRUZKNIE 1 (Prawo bezwładności dla form kwadrai-mychi Jtili ♦ jru M •/•walem kwadratowym na rzrc:y*txtej pmmeni witomtj i’ «4wrv» * bo^¹*¹

B *{»»,. . I<_M) i tf =» (irj.....v‘_m) formy

»f+ +*;-*ł+» — ... -i +

*    P ~ r amt q <= x.

Kóbneę p - q liczb /i i </ występujących w twierdzeniu I nazywamy syfiuaura IwkjorioJu kwadratowego <P

Fankcjon*) kwadratowy <P narzrc/ywisicjpr/curzcniwektorowej V nazywamy do komu określonym. jeśli d>|u) > 0 dla kaidego wektora i< c V' \ lf*| Jdh #(*1 * ®