DSC02448 (2)

313

m

VI. Cyka liwnaiciuMi

y M0>    i §{x) mają na pewnym przedziale funkcje pierwotne,

A aat w*t&smhę s?-$Łi. to fietlcic /'(*)■+ g(x),f(x)-g(x) oraz Af(x) mają takie na tym fpmtśnek    przy czym

Jt/W+d<*)3d*» J/<x)d*+ j g(x)dx,

i £/(x)—#(xjjdx » \f{X)dX— j ff(x)dX,

W    14f(x)6t**4 łftx)4x.

wfBfci i twierdzeń o pochodnych i z określenia (6.1), Tak np. różniczkując dta ■nn; jówauśuf6.H)nny

iilM+nWW-afW&cym g{x)ix)\ inspofetmc wzoru (63) otrzymujemy

/W+śW*/W+#(x).

Dwaga. Je® całkujemy sumę kilku funkcji, to po obliczeniu całek dopisujeznytia końcu ^ *■** dowolną, ponieważ suma stałych dowolnych jest także stałą dowolną.

Tfcl JE* ad 13, Obliczmy następu jące całki

*> /«*-1 *^-S«4«?₊c,

. r2Ji-yi+%x_M c r    r

^i=2Ł=^l *-    1 «?„, ^_łC,

*> J(—•ś-r⁵-—}'—J—f«-»

= 3cOSbx-6txh    | £

dx>

6.1 > Obliczyć całki: SI

— 1 • ót-f? | xśx

sari i

[ i +s^{3 djr+2} i    ^dA+3 J *^łrf*~⁶f ^ix

“***+ ***-■*«* jr+2»rc«jn jt+2* V*-&r+c,

•    * J ^x J MB X

| J ^    ■*’ ^b)    •» jW+7«o«-3

4,    •, J^r*. o f^. «»

^h> /****• «>    w

1)

Odpowiedz. It a) t^x\fx——^x^%4-2? vi*żC_} b) ?ts^x~——5*-Iaacw    d Se* 4-

■ 9

♦7dss-5sy»+C ś) £**—i**+a^,-*+C    d łsr-sat^C f)

1    / J\*

g) -c***-t*x+C. h) tgx-x±C₉ ii    +2r^x-Sx4C,    ^ a-^iłC

1)

In3³* 2 ^łnN“2ctgx-fC, i —sin* jt p .

- i~ rfx «ia a

j aur*

iir^~ I dx«-agx-*+c,

dx

*“»rci|x+C₍

| 38. CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

Przy r słl ownnin wielu funkcji bardzo pomocne jest

Twierdzenie. JeSłi fimkąe.%) >ew (dbaiw os prmłhak (a. 6) « fmictja v«f(x) ww csągśą pochodną ma prrrłrmlr (a, jt) oraz a<ę\x)<b_f to arśiói «cdr. wr wmni na coftowMgpraer podstawianie:

(«id)    !/<*<*)) #'<*>**-    di* •-*(*).

Dowód. Pochodna lewą strony równania (6.14) wsągłędwa x wynosi /(f(x^ f'(4 Prawa strona jest funkcją złożoną wp»Mą x. RóWnczkąjęc ją i itnymąjrngr

/<■)    9\*)-A.9(x)) ę't*) -

dx

Wiór (6.14) jest więc prawdziwy.

Należy pamiętać, Er przy podstawieniu f(r)»s zastępuje ną    przez ór traktąąc

symbole dxi dh jak różniczki x i a.

Przykład 6.4. Obłicmy całki: a) (oosSids.