Picture0

u

u

II	“1	t 2n,
b	lu,	1 4u ,	+ (i,
c	2,x,	1 4,1,	' ^2,1 i

Ko/.vvi;|/anicm lego układu równań są:

u. = — a + b — c 2    4

(4.5)

c# — — // 1--

2 2 2 1    1

(X, =--CJ + —C,

2    4

i lo oznacza, że każdy wektor da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów    czyli te wektory generują przestrzeń R\ Tak więc wektory

>i, V', X\ I worzą bazę przestrzeni R³, gdyż spełniają oba warunki definicji 4.4.

Ad b) W przykładzie 4.Ib wykazaliśmy, że wektory X\, X2, *3 są liniowo zależne, tak więc nie spełniają drugiego warunku definicji 4.4, czyli nie tworzą bazy przestrzeni R³.

Ad c) Wektory X\ i x₂ nie tworzą bazy przestrzeni R\ gdyż nie są układem generującym tę przestrzeń.

Dla dowolnego wektora x = (a, b, c) e R^ kombinacja liniowa wektorów V| i x₂ przedstawia się następująco:

x = d|JCi + a₂X2,

(a, b, c) = a,(-l, 0, 2) + a₂(3, 0, 2).

Otrzymujemy wówczas układ równań:

x/ = -a, +3a₂ ■/> = ()

c = 2a, +2a,.

Ma on rozwiązanie tylko wówczas, gdy b = 0, a to oznacza, że nie każdy wektor da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów*] ix₂.

Przykład 4.3

Wektor * ma w bazie kanonicznej współrzędne (2,-3, 1). Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie określonej w przykładzie 4.2a.

Wektor v (2, ł, I) niii w bazie knnonic/nej rozkład:

Ir,

* = (2,-3, 1) = 2(1, 0,0) +( 3X0, 1,0)+1(0,0, I) 2e, - 3<'₂ Szukamy ai, ai, a? w rozkładzie wektora * w bazie *i, *>, xi: x = ajjf| + ai*₂ +

Korzystamy ze wzorów (4.5):

¹ - ,    3 .    19

„,=--.2 ₊ (-3)--1 = -₇,

a, =--2--(-3)+--l=3,

² 2 2 2

1 .    1 ,    3

a, = 2 + — 1 = —.

19    3

Wektor a^- ma w zadanej bazie współrzędne (--, 3,--), gdyż:

4    4

19    „    3

x =--X, + 3*,--A,.

4 ^{1    2} 4 ³

Zadania

21.    Zbadać, czy następujące zbiory wektorów tworzą zbiory generujące przestrzeń R³:

a)    (1,2,3), (-1,0,1), (0,1,2),

b)    (1,2,-1), (1,0,1),

c)    (1,0,0), (1,2,0), (1,2,3).

22.    Zbadać, czy następujące układy wektorów są bazami przestrzeni R

a)    (1,2), (3,4),

b)    (1,2), (2,4).

23.    Zbadać, czy następujące układy wektorów są bazami przestrzeni R'

a)    (1,1,0),    (0,1,1), (1,0,1),

b)    (1, 1,0), (0, 1, 1),

c)    (2, 1,-6), (-1,2,3), (3,-5, 9),

d)    (1, 1, 1), (1,2,0), (0, 1,0), (0,3, 1).

24.    Zbadać, czy wektory:

(1,0, 0,0), (1, 1,0,0), (1,1, 1,0), (1,1,1, 1)

tworzą bazę przestrzeni R⁴.