Jeżeli odpowiednie działania są wykonalne, to:
1. (ATrl=(A-'f
2. (AB)-1 ss B-IA-1
3. (A-1)-1 = A
Niech dowolna macierz Amxn traktowana będzie jako następujący układ wierszy lub kolumn:
w,
w2
lub Amxn = [k|, k2,.... k„]
m
W
Twierdzenie
Rząd układów wektorów kolumnowych i układu wektorów wierszowych dowolnej macierzy Amxn są równe:
rz {ki, k2>..., k„} =rz {W|,w2,..., wm}
Definicja
Rzędem macierzy Amxn nazywamy rząd układu wektorów kolumnowych lub układu wektorów wierszowych tej macierzy.
Wnioski
1. Dla każdej macierzy A istnieje dokładnie jedna liczba „r” będąca jej rzędem oraz
r = rz A = rz {ki, k2,..., k„} = rz {wi, w?.....wra}
2. Dla każdej macierzy AmXn zachodzi nierówność
rz A < min {m, nj
Czyli:
rząd każdej macierzy nie przekracza ani liczby wierszy, ani liczby kolumn tej macierzy.
3. Rząd każdej macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn lub wierszy tej macierzy.
Twierdzenie
Dla dowolnej macierzy kwadratowej Amxn zachodzą równoważności:
1. |A|*0 <=> r = rz A = n
2. |A| = 0 $=> r = rz A < n
Wnioski
1. Rząd macierzy nieosobowej jest równy jej stopniowości.
2. Rząd macierzy osobliwej jest mniejszy od jej stopnia.
75