SCN
06

Ze wzglądu na ilość elementów >K (A, b) wyróżniamy następujące 3 przypadki:

1.    Zbiór 3K (A, b) może być pusty. W tym przypadku wyjściowy układ równań liniowych AX = b nazywamy sprzecznym.

2.    Do zbioru 5K (A, b) może należeć dokładnie jeden element X°. W tym przypadku rozpatrywany układ równań liniowych AX = b nazywamy oznaczonym.

3.    Do zbioru )K (A, b) może należeć nieskończenie wiele elementów. W tym przypadku rozpatrywany układ równań liniowych AX = b nazywamy nieoznaczonym.

Uwaga

W powyższych przypadkach 2 i 3 układ równań liniowych AX = b nazywamy zgodnym.

Wniosek

Układ równań liniowych może być sprzeczny lub zgodny (układ sprzeczny nie ma rozwiązań), natomiast układ zgodny może być oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie) lub nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań). Osobliwością jest tutaj to, że jeżeli układ równań liniowych ma dwa różne rozwiązania, to ma ich już wtedy nieskończenie wiele.

O kwestiach istnienia lub nie istnienia rozwiązań oraz o problemie ilości rozwiązań układu zgodnego rozstrzyga następujące podstawowe twierdzenie teorii układu równań liniowych.

5.1.1. Twierdzenie Kroneckera - Capellego

gdy:

Układ równań liniowych AX = b jest zgodny wtedy i tylko wtedy rzA = rzU = rz [ A,b ] = r

oraz:

1.    Jeżeli rzA = rzU, to układ równań liniowych AX = b jest zgodny oraz:

a)    jeżeli r = n, to układ równań liniowych jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie X° ,

b)    jeżeli r<n, to układ równań liniowych jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań ze zbioru )K (A, b).

2.    Jeżeli rzA < rzU, to układ równań liniowych AX = b nie jest zgodny, a więc jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

Uwaga

Nieuwzględnione w powyższym twierdzeniu Kroneckera - Capel-lego przypadki r>noraz rzA>rzU nie mogą wystąpić.

Interpretacja geometryczna twierdzenia Kroneckera -- Capellego

Twierdzenie Kroneckera - Capellego orzeka, że układ równań liniowych AX = b jest sprzeczny, gdy wektor wyrazów wolnych b nie jest kombinacją liniową wektorów kolumnowych macierzy A oraz układ ten jest zgodny, gdy wektor wyrazów wolnych b jest kombinacją liniową wektorów kolumnowych macierzy A.

5.2. Jednorodne układy równań liniowych

Definicja

Układ równań liniowych AX = b, dla którego wszystkie wyrazy wolne są równe zero nazywamy układem liniowych równań jednorodnych lub inaczej jednorodnym układem równań liniowych.