skan0012

124

E 71=1	cos nx	20.
	2^n
9 80		22.
1 2		24.

-E

1

8

ln 2

OO

sin 2 nx n^A

3.3. Szeregi potęgowe

Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci

OO

Y»    (3.3.1)

n=0

gdzie oo, ai, • • •, On, • • • nazywamy współczynnikami szeregu. Zauważmy, że stosując

OO

podstawienie t = x-xo, szereg Y, a_n(x-xo)ⁿ można sprowadzić do postaci (3.3.1).

71=0

Szereg potęgowy to szczególny przypadek szeregu funkcyjnego.

Zajmiemy się teraz problemem zbieżności szeregu (3.3.1). Zauważmy, że szereg (3.3.1) jest zawsze zbieżny dla a; = 0. Odnotujmy następujący Lemat. Jeżeli szereg (3.3.1) jest zbieżny dla x — p ^ 0, to jest on zbieżny bezwzględnie dla każdego x £ (—|p|, |p|) i jednostajnie zbieżny w każdym przedziale [-0|p|,0|/?|], gdzie 0 £ (0,1).

W badaniu zbieżności szeregów potęgowych pożyteczną rolę odgrywa promień zbieżności. Promieniem zbieżności R szeregu potęgowego (3.3.1) nazywamy kres górny zbioru wartości wszystkich tych liczb |z|, dla których szereg jest zbieżny. Z powyższej definicji wynika, że promień zbieżności jest liczbą nieujemną. Jeżeli R :=! 0, to szereg potęgowy jest zbieżny jedynie dla x = 0. Jeżeli 0 < R < 09, to szereg (3.3.1) jest zbieżny dla każdego x £ (-R, R). Jeżeli natomiast R = 00, to szereg jest zbieżny dla wszystkich x £ (—00,00). Suma szeregu (3.3.1) jest funkcją ciągłą w całym wnętrzu (—R, R) przedziału zbieżności.

Tw. 1 ( Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności). Jeżeli istnieje granica

lim

n—»oo

ftn+1

a_n

I² 9,

(lub lim y/\a^\ = 9 ) ,

\    11—*00

to promień zbieżności szeregu potęgowego (3.3.1) jest określony następująco:

f 0    gdy g = 00,

R = < -    gdy 0 < g < 00,

00

gdy u ?= Ui

vm

Tw. 2 (o całkowaniu szeregu potęgowego). Jeżeli x należy do wnętrza przedżflilii zbieżności szeregu (3.3.1), to zachodzi równość:

,n+l

13.1

Tw. 3 (o różniczkowaniu szeregu potęgowego). Jeżeli x należy do wnętrza* przn* działu zbieżności szeregu (3.3.1), to

y]a_nxⁿ I = na_nx^r

(3.3.11)

d

dx

Zapamiętajmy, że promienie zbieżności szeregów potęgowych występujących poJ prawych stronach we wzorach (3.3.2), (3.3.3) oraz szeregu (3.3.1) są takie samd

Rozwijając funkcję / w szereg Maclaurina, otrzymamy szereg potęgowy pośj^H

Hm

..... n=0    '

W zadaniach przydatne są rozwinięcia w szereg Maclaurina następujących funkbjfl e^x, sina:, cos a;, ln(l + x), (l-t-a:)*. Oto one:

00 ■

1 o x- ^

HEhH ^,£®'

n=0

f    *^6R’

■■ M Kmm

^C0*Ą_;-    Be ^R.

ln(l + x)= £(~l)ⁿ⁺¹^-, a: € (-1, l|

n=l.\. .

,90. / i. \

(1 H-

Wyznaczyć prasodeldły zbieżności szeregów: