skan0016

<10

Rozwiązanie ogólno określa wyrażenie:

w²    x³

Y+ysmx - — = C.

Wyznaczyć całki ogólne równaj! różniczkowych:

2.    (y²x — y³)dx + (1 — y²x)dy = 0

3.    ydx + x(x²y — 1 )dy = 0

2. Łatwo stwierdzić, że nie jest to równanie zupełne, gdyż

My = 2yx — 3y², N_x = —y²,    a więc M_y ^ N_x.

Szukamy czynnika całkującego. Zauważmy, że wyrażenie

M_y - N_x _ 2y(x - y)

N 1 —tyx

nie jest funkcją tylko zmiennej x, więc nie istnieje czynnik całkujący fi = fi{x)9 Ponieważ wyrażenie

^Mv ~ N_x = 2y(y - x) _ _2 _

I MIĘ y²(x-y) y °^KV)

jest funkcją tylko zmiennej y, więc czynnik całkujący istnieje i ma postać:

H(y) = _e/(-f )*v = i.

Mnożymy obie strony równania wyjściowego przez czynnik całkujący, więc .(a - y)dx + (y^-2 - x)dy = 0.

Otrzymane równanie jest równaniem zupełnym. Rozwiązując je, mamy:

u_x = x — y, więc u — -x — xy + <p(y).

1

Stąd

u_v = -x + ip'{y) = y ² - x, czyli    ip'(y) = jj ².

Całkując względem y, mamy

^(y) = -y”¹ +Ci,

»i więc callui ogólna Jest opinana wzorem:

In    1

s® - y* - - = c.

2    y

'"‘•'TO »P'Wdzić, że nie istnieją czynniki całkujące zależne tylko od jednej ■tmonnf x lub y. Szukamy czynnika całkującego w postaci \i ~ x^py^q. Mno-Aąe równanie przez funkcję p, otrzymujemy

x^py^q+1dx + (s^p+V⁺¹ - x^p+1y^q)dy = o.    (2.5.7)

1¹1"/,yjmujemy oznaczenie

M* (x, y) = x^py^q+1,    N*(x, y) = x^p+zy^q+1 — x^p+1y^q

I wyznaczamy

M;^lq + t)x^py^q, iv; = (p + 3)ai*V⁺¹

fmiwo zauważyć, że otrzymane równanie będzie równaniem zupełnym wtedy i tylko wtedy, gdy i N*. Stąd, porównując współczynniki przy wyrażeniach: W^vV^q oraz x^p+2y^q+1, otrzymamy następujący układ równań q +1 = ~(p +1)

_xV+2_yq+l

0 = p + 3.

()('.zywiście q = 1, p = — 3 jest rozwiązaniem tego układu, a więc

fi(x,y) = x~^zy

Jest szukanym czynnikiem całkującym i równanie zupełne (2.5.7) ma postać: x~³y²dx + {y² - x~²y)dy — 0.    (2.5.8)

Rozwiązując to równanie, mamy:

u_x = x~³y², czyli u = -^x~²y² + <p{y), więc

u_v = -x~²y + <p'(y) -y² - x~²y, oraz jV(y) f y²,    V>{y) = -^y³ + Ci-

Stąd wynika, że całka ogólna jest dana wzorem

2_fl,2 | ±_y3 _ _a

1 -2 2 ■ ¹ * ~2^X I + 3