Untitled Scanned 33

97

dopiero w latach dwudziestych zostały usunięte przez innych badaczy. Poniżej przedstawimy system Zermcla podstaw teorii mnogości. Oczywiście, przedstawimy go zgodnie z dzisiejszymi wymogami dokładności i ścisłości; uwzględnimy więc między innymi te uściślenia, które w roku 1922 wprowadził T. Skolcm.

Podstawowymi pojęciami teorii mnogości w ujęciu Zermcla są: pojęcie identyczności dwóch przedmiotów, pojęcie zbioru oraz pojęcie przynależności elementu do zbioru. Zakłada się więc, iż rozumiemy, co to znaczy, że x=y, że x jest zbiorem i że je e y. W dalszym ciągu wygodnie będzie zapisywać wyrażenie „x jest zbiorem” krótko w postaci Z(x). Symbol Z jest więc tutaj po prostu skrótowym zapisem predykatu jednoczłonowcgo: jest zbiorem.

Oprócz wymienionych trzech predykatów (tzn. =, Z, e=) język teorii mnogości zawiera jeszcze zwykłe spójniki między zdaniowe, kwantyfikatory, zmienne indywiduowe i nawiasy. Pełny opis tego języka wraz z jego gramatyką zawierają poniższe definicje.

DEFINICJA 2.1. Znakami języka teorii mnogości są następujące symbole:

n	A V —* *-*	(spójnik i międzyzd a n iowe).
A	V	(kwantyfikatory),
	*2 *3 x4 ...	(zmienne indywiduowe),
z		(predykat jcdnoczłonowy: jest zbiorem),
e		(predykat dwuczłonowy: jest elementem),
=		(predykat dwuczłonowy: jest identyczne z),
( )		(nawiasy).

Spójniki między/.daniowe i kwantyfikatory bywają nazywane łącznie stałymi logicznymi. Predykaty: Z. e, =, to także stałe, ale stałe pozalogicznc.

Zakładamy, że dysponujemy nieskończonym ciągiem różnych zmiennych. Można by przyjąć, że zmienne te są budowane z jakichś dwóch prostych znaków (podobnie jak zmienne zdaniowe w języku rachunku zdań), ale jest to na razie mało istotny szczegół techniczny. Dopiero w rozdziale VII wykorzystamy tę możliwość. Oczywiście, w praktyce zamiast x_x. x₂. ... pisać będziemy x, y, z, u, v, w,... Używać będziemy również nawiasów o postaci [ ], {    }

zamiast nawiasów okrągłych.

Definicja 2.2. (i) Każde wyrażenie o postaci Z(x_i), x, e x_jt x₍ = x_i jest formulą zdaniową (języka teorii mnogości). Formuły zdaniowe tych postaci noszą nazwę atomowych, (ii) Jeżeli A jest dowolną formulą zdaniową, to wyrażenia n(X), /\(.4), \/(A) są również formulami zdaniowymi, (iii) Jeżeli

7