zad2 3

Lista 2.

Zad.9. Rozpatrzmy ciąg niezależnych rzutów monetą. Prawdopodobieństwo orła w po-jedyńczym wynosi p. Niech Y_n będzie liczbą orłów minus liczba reszek po n rzutach. Znaleźć macierz przejścia dla łańcucha Y_n. Obliczyć P(Y₃ = — 1).

Zad.10. Załóżmy, że możliwe stany układu to 1,2,3 i macierz przejścia łańcucha Y_n wygląda następująco:

	' 0.2	0	O bo
p =	0.7	0.3	0
	0	0.4	0.6

Znaleźć: a) P(Y₂ = 1), o ile stan początkowy jest równy 1; b) P(Y₃ = 1), o ile stan początkowy jest równy 2.

Zad. 11. W dwóch urnach rozmieszczono 4 kule białe i 4 czarne tak, ze każda z nich zawiera po 4 kule. W każdym kroku wyjmujemy po jednej losowo wybrnej kuli z obu urn i zamieniamy je miejscami. Stan procesu opisujemy łiczbą czarnych kul w pierwszej urnie.-Uzasadnić, że jest to łańcuch Markowa. Opisać macierz przejścia. Uogólnić na przypadek N kul w każdej urnie.

Zad. 12. Załóżmy że możliwe stany układu to 0,1 i macierz przejścia łańcucha Y_n wygląda następująco

P =

I-o; a

P l-P '

Pokazć, że

P(Y_n = 0) = P/(a + P) + (1 -a-fi)ⁿ (_P;- P/(a + fi)), gdzie P(Yq = 0) = p. Jak można opisać proces mający macierz przejścia P ?

Zad.13. W ciągu doświadczeń Bernoulliego będziemy mówili, ze w chwili n układ jest w stanie E\, jeżeli doświadczenia o numerach n — 1 oraz n dały ciąg SS (sukces, sukces). Podobnie E₂, E₃, E₄ będą określone przez SP, PS, PP. Znaleźć macierz przejścia P oraz P².

Zad. 14. Sprawdzić, czy łańcuch z zadania 10 jest nieprzywiedlny.

Zad.15. Znaleźć wszystkie zamknięte zbiory stanów dla łańcucha opisanego macierzą:

0 10'

0 0 0 \ 0 0 ‘

Zad. 16. Spacer losowy na zbiorze liczb całkowitych. Cząstka porusza się w następujący sposób.: z położenia i skacze w prawo do położenia i •f 1 z prawdopodobieństwem p oraz skacze w lewo do położenia i — lz prawdopodobieństwem 1 — p, gdzie i G {...,-2,-1,0,1,2,...}. Obliczyć pS^oo, a następnie pj?.

Zad.17. Ruina gracza. Załóżmy, że łączny kapitał graczy A, B wynosi a zł. Gracz A wygrywa złotówkę w pojedyńczej grze z prawdopodobieństwem p, a przegrywa z prawdopodobieństwem 1 - p. Za każdym razem, gdy gracz A(B) przegrywa ostatnią swoją złotówkę, przeciwnik oddaje mu ją z prawdopodobieństwem a. Znaleźć macierz przejścia w jednym kroku dla łańcucha, który opisuje kapitał gracza A. Załóżmy, że w chwili początkowej gracz A dostaje i, 0 < i < a, złotych z prawdopodobieństwem l/(a + 1). Jakie jest prawdopodobieństwo ruiny gracza A w dwóch grach.