zad4 2

Zadania z „Elementów procesów stochastycznych”

Lista 4

Zad. 27. W ciągu doświadczeń Bernoulliego z pr. sukcesu p, mówimy, że w chwili n układ znajduje się w stanie 0. jeżeli n-te doświadczenie dało porażkę, a w stanie k G {L. . . ,??,}, jeśli ostatnia porażka nastąpiła w chwili n — k (zerowe doświadczenie liczymy za porażkę). Innymi słowy, stan oznacza długość nieprzerwanej liczby sukcesów kończącej się w chwili n. Obliczyć

Zad. 28. Zbadać czy istnieje rozkład stacjonarny dla łańcucha z Zad. 22. Jeśli istnieje, to go wyliczyć.

Zad. 29. Niech P będzie macierzą n na n. podwójnie' stochastyczną, tzn. taką macierzą, w której zarówno suma każdego wiersza jak i suma każdej kolumny jest równa J. Pokazać, że rozkład 7r, = - jest rozkładem stacjonarnym łańcucha o tej macierzy przejścia.

Zad. 80. Niech P będzie macierzą przejścia łańcucha Markowa o n stanach. Pierwszy wiersz tej macierzy składa się z elementów /ą. p₂, ■ ■ ■ ■ p_n, a następne powstają z niego przez cykliczne przesunięcie, tzn. drugi wiersz ma postać p_n, P\. P2-■ ■ ■, p_n-i ■ trzeci wiersz ma postać Pn-uPn,Pi, • • • ,Pn-2, itd. a ostatni wiersz ma postać P2,P3,P4.....Pn-i-Pi- Jak wygląda łań

cuch opisany tą macierzą? Czy ten łańcuch jest ergodyczny? Jeśli tak, to obliczyć prawdopodobieństwa TT j.

Zacl. 31. Jeden z szachistów (nazwijmy go A) jest bardzo odporny psychicznie i niezależnie od wyników poprzednich gier wygrywa kolejną partię z prawdopodobieństwem p, remisuje z prawdopodobieństwem r albo przegrywa z prawdopodobieństwem q, gdzie p + r + ą — 1.

Drugi szachista (nazwijmy go B) jest słabszy psychicznie:

jeśli poprzednią partię wygrał, to następną: wygrywa z prawdopodobieństwem p+t, remisuje z prawdopodobieństwem r albo przegrywa z prawdopodobieństwem ą — e\

jeśli poprzednią partię zremisował, to następną: wygrywa z prawdopodobieństwem p, remisuje z prawdopodobieństwem r albo przegrywa z prawdopodobieństwem q\

jeśli poprzednią partię przegrał, to następną: wygrywa z prawdopodobieństwem p — s, remisuje z prawdopodobieństwem r albo przegrywa z prawdopodobieństwem q + s.

Oczywiście s jest takie, że q — £ > 0 i p — s < 1.

Przyjmijmy też, że gracz B ostatnią partię przed tym turniejem zremisował.

a)    Który z tych dwóch szachistów w długim turnieju (kilkadziesiąt partii) osiągnie lepszy wynik?

b)    Jak odpowiedź na. poprzednie pytanie zależy od £?

c)    Czy odpowiedź na a) zależy od wyniku gracza B w ostatnim meczu poprzedniego turnieju?

Wskazówka: W długiej serii gier prawdopodobieństwa wygranej, remisu i przegranej uniezależniaj aśię od stanu początkowego.