zestawB

Maumihki, kobkwium M» (N» 2011, Zestaw B. puA^w    i.:iąg rtmenmch losowych X_m jesl zhie/ny do zmiennej losowej Y

' wuMMRttl    ten ciąg -V, zmiennych losowych jest zbieżny do

iiMLmwi k nowel V według prawikwotkibicAsIWB P, przy tf ** to,

\ievh t będzie jednorodnym procesem Poissona / parametrem X (z intensywnością i k w \ ;i«k/\V wartość oczekiwaną, wariancję oraz funkcję autokowariancji procesu t » Y„, * X_t. f i i    I

i \t.vid dyfuzji Bcmouiliego) Każdy z dwóch przylegających do siebie pojemników A i B zawiera M cząstek. M cząstek spośród 2M jest typu I a pozostałe M cząstek jest Kpa II Losujemy po jednej cząstce z każdego pojemnika. Jeśli wylosowane cząstki są Słttaych typów to z prawdopodobieństwem a cząstki są zamieniane pomiędzy sobą. toffi frytka typu I była w pojemniku A lub z prawdopodobieństwem p jeśli cząstka typu I była w pojemniku B. Niech X_n oznacza liczbę cząstek typu I znajdujących się w pojemniku A w chwili n. Wyznaczyć macierz prawdopodobieństw przejścia w jednym kroku łańcucha Markowa X„. Wyznaczyć prawdopodobieństwa stacjonarne tego łańcucha Markowa. Czy łańcuch X_n jesl łańcuchem ergodycznym ?

Zakładamy, że w danym obszarze obserwacji obiekty określonego typu mogą    ®

powstawać samorzutnie lub też obiekty tego samego typu mogą przybywać do obszaru obserwacji z zewnątrz (imigracja). Chwile samorzutnego utworzenia się obiektów są zmiennymi losowymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym z parametrem X. Natomiast, strumień obiektów przychodzących z zewnątrz do obszaru obserwacji jest strumieniem poissonowskim z parametrem fi. Niech X(t) oznacza ilość obiektów znajdujących się w chwili t w obszarze obserwacji. Przyjmujemy, że P(X{0) * 0) = I Napisać równania różniczkowe na P„(/) = P(X(t) - n). Wyznaczyć z. tych równań różniczkowych równanie różniczkowe na M(t) * EX(t) i rozwiązując to równanie różniczkowe wyznaczyć M(t).

Niech W_t będzie standardowym procesem Wienera, tzn. EW, ~ t.

a.    Obliczyć j|| W_t j.

b.    Wyznaczyć P( Wr -i-W, > 1) , gdzie €Ks<t.

Koman Różański.

f-